Stranica 1 od 1

Gotovo monoton niz

PostPoslato: Ponedeljak, 05. Novembar 2018, 21:13
od Boba R.
Kao posljedica principa monotonije u knjizi je navedeno da je svaki gotovo monoton i ograničen niz konvergentan.
Može li neko da mi pojasni šta je gotovo monoton niz?

Re: Gotovo monoton niz

PostPoslato: Ponedeljak, 05. Novembar 2018, 22:45
od Corba248
Ja moram priznati da ne znam šta to znači, ali znam navedenu teoremu. Ona glasi: ako je niz monoton i ograničen onda je on konvergentan. Pri čemu je niz monoton ako za svako [inlmath]n\in \mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]a_{n+1}\ge a_n[/inlmath] ili [inlmath]a_{n+1}\le a_n[/inlmath] (da ne ulazimo sada u to kad je rastući, opadajući, nerastući, strogo rastući itd. što nije ključno za ovu teoremu), a ograničen je onaj niz za koji postoje [inlmath]M,m\in \mathbb{R}[/inlmath] takvo da za svako [inlmath]n\in \mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]m\le a_n\le M[/inlmath].
Dokaz nije komplikovan pa ću ga navesti.
Uzmimo monoton niz [inlmath](a_n)[/inlmath] takav da je [inlmath]a_1\le a_2\le \ldots \le a_n\le M[/inlmath] odnosno rastući (ili neopadajući, kako ko voli da kaže) niz [inlmath](a_n)[/inlmath] takav da [inlmath]\left ( \exists M\in \mathbb{R}\right )\left (\forall n\in \mathbb{N}\right ) a_n\le M[/inlmath]. Označimo [inlmath]\sup a_n=C[/inlmath]. Tada, po definiciji supremuma, važi [inlmath]\left (\forall n\in\mathbb{N}\right ) a_n\le C[/inlmath] i [inlmath]\left (\forall \varepsilon >0 \right)\left ( \exists n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\right ) a_{n_0}>C-\varepsilon[/inlmath], pa važi:[dispmath]\left (\forall \varepsilon >0 \right)\left ( \forall n>n_0\right ) C-\varepsilon<a_n<C+\varepsilon[/dispmath] tj. [inlmath]\lim a_n=C[/inlmath]. Analogno se radi i drugi slučaj sa tim što je [inlmath]\lim a_n=\inf a_n[/inlmath].

Re: Gotovo monoton niz

PostPoslato: Utorak, 06. Novembar 2018, 15:17
od Daniel
Pozitivan niz [inlmath]b_n[/inlmath] je gotovo rastući akko postoji strogo rastući niz [inlmath]a_n[/inlmath] i pozitivne konstante [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takvi da za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] važi [inlmath]Aa_n\le b_n\le Ba_n[/inlmath].

Jedan primer, predstavljen grafički, izgledao bi ovako:

gotovo monoton niz.png
gotovo monoton niz.png (2.52 KiB) Pogledano 1300 puta

Vidimo da niz [inlmath]b_n[/inlmath] nije monotono rastući, ali jeste gotovo monotono rastući jer se nalazi unutar oblasti (na slici obeležene žuto) čija su i gornja i donja granica strogo rastući nizovi (umnošci strogo rastućeg niza [inlmath]a_n[/inlmath]). Drugim rečima, niz [inlmath]b_n[/inlmath] se nalazi u „sendviču“ između dve monotono rastuće granice opsega.

Dakle, svaki monotono rastući niz jeste i gotovo monotono rastući, ali obrnuto ne važi.

Možemo uočiti i to, da je neophodno da [inlmath]a_n[/inlmath] bude strogo rastući niz. U slučaju da je [inlmath]a_n[/inlmath] neopadajući, imali bismo kontraprimer: [inlmath]a_n=1[/inlmath], [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=3[/inlmath], [inlmath]b_n=2+\sin x[/inlmath], tj. [inlmath]b_n[/inlmath] ne bi bio konvergentan iako bi ispunjavao sve uslove.

Analogna priča važi i za gotovo monotono opadajući niz.