Imam više zadataka u kojima je definisan neki niz čiju konvergentnost treba da pokažem i na kraju da pronađem graničnu vrijednost.
Shvatila sam šablon - treba dokazati monotonost i ograničenost, pa je onda po teoremi dokazano da je niz konvergentan. Pronalaženje granične vrijednosti nije problem, ali prva dva koraka jesu - isključivo zbog matematičke indukcije koja se koristi. Ranije sam se susretala sa mat. indukcijom, ali to je bilo poprilično površno.
Primjer zadatka je: Neka je niz [inlmath]{a_n}[/inlmath], n je prirodan broj, definisan na sljedeći način: [dispmath]a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{9}{a_{n-1}}), a_0=1[/dispmath] Pokazati da je niz konvergentan i naći njegovu graničnu vrijednost.
Objašnjeno mi je da prvo postavim bazu indukcije, [inlmath]n=1[/inlmath] i dokažem da je [inlmath]a_1< a_2[/inlmath], zatim postavim hipotezu, ali taj korak i dokaz mi nisu jasni: stavljam da za to [inlmath]n=k[/inlmath] ide [inlmath]a_k<a_{k+1}[/inlmath], zatim u dokazu mi je[inlmath]a_{k+1}>a_k[/inlmath]. ali prilikom računanja koristim hipotezu. Po kojoj ideji postavljam ove nejednakosti i kako računam?
Unaprijed zahvalna na objašnjenju