Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Košijev niz

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Košijev niz

Postod diopo » Petak, 07. Decembar 2018, 20:42

Pozdrav, matemanijaci, evo mene opet! :)

Da li bi neko mogao malo da mi objasni pojam Košijevog niza? Šta je tipično za taj niz, tj. po čemu da ga prepoznam?

Primeri bi pomogli takođe.

Ja znam definiciju tog niza, ali, iskren da budem, naučio sam je napamet, jer je stvarno ne razumem, pa bih hteo da skapiram to da bi mi lakše ostalo u glavi. Našao sam neku temu od pre ali nisam najbolje razumeo.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Košijev niz

Postod Daniel » Sreda, 26. Decembar 2018, 01:29

Ne znam da li je pitanje još uvek aktuelno, ali mislim da bi povećao šanse da ti neko odgovori ako bi pitanje malo precizirao, kako ti ne bismo ovde pisali celu teoriju Košijevog niza. Najbolje bi bilo kad bi linkovao tu temu koju si pomenuo i citirao ono što ti je u toj temi ostalo nejasno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta

Re: Košijev niz

Postod diopo » Subota, 29. Decembar 2018, 00:04

Jes da je davno bilo, al' znanja nikad dosta. :D

Pa konkretno ne razumem definiciju koja glasi:
[dispmath](\forall \epsilon > 0)(\exists n_0(\epsilon)\in \mathbb{N})(\forall m,n>n_0) \vert a_m-a_n\vert < \epsilon[/dispmath]

Dakle tebalo bi mi neko "pojednostavljenje" ove definicije.Ne kapiram po cemu se ovaj niz razlikuje od nekog drugog konvergentnog niza. Kad sam pomenuo primere mislio sam da neko napise primer obicnog konvergentnog niza i primer kosiijevog i da na na njima objasni razliku. Stvarno ne umem konkretnije da formulisem jer mi sama osnova nije jasna, kao sto vidis. :/
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

  • +2

Re: Košijev niz

Postod ubavic » Subota, 29. Decembar 2018, 12:41

Prvo, svaki konvergentan niz realnih brojeva je Košijev. Ovo se veoma lako dokazuje:[inlmath][/inlmath]
Neka [inlmath](a_n)[/inlmath] teži broju [inlmath]l[/inlmath]. Uzmimo [inlmath]\varepsilon\gt0[/inlmath]. Potrebno je pronaći prirodan broj [inlmath]n_0[/inlmath], takav da za sve [inlmath]n,m\ge n_0[/inlmath] važi [inlmath]\left| a_n-a_m\right|\lt\varepsilon[/inlmath]. Kako je [inlmath](a_n)[/inlmath] konvergentan, postoji prirodan broj [inlmath]n_0[/inlmath] takav da je [inlmath]\left| a_k-a_{n_0}\right|\lt\varepsilon/2[/inlmath] za sve [inlmath]k\ge n_0[/inlmath]. Sada za proizvoljne [inlmath]n,m\ge n_0[/inlmath] važi [dispmath]\left| a_m-a_{n_0}\right|\lt\varepsilon/2 \\ \left| a_n-a_{n_0}\right|\lt\varepsilon/2.[/dispmath] Primenjujući nejednakost trougla, dobijamo da je [dispmath]\left| a_m-a_n\right|=\left| a_m-a_{n_0} -(a_n-a_{n_0})\right|\le\left| a_m-a_{n_0}\right|+\left| a_n-a_{n_0}\right|\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.[/dispmath]
Dakle niz [inlmath](a_n)[/inlmath] je Košijev.

S druge strane svaki Košijev niz realnih brojeva je konvergentan. Dokaz ovog tvrđenja je malo duži, pa ga neću ovde raspisivati (lako ćeš naći dokaz u bilo kom udžbeniku analize), ali ću dati malu skicu: prvo se dokaže da je svaki Košijev niz ograničen, a zatim se dokaže da ako Košijev niz sadrži konvergentan podniz, onda je i sam konvergentan. Sada tvrđenje sledi na osnovu Koši-Bolcanove teoreme, koja kaže da svaki ograničen niz realnih brojeva ima konvergentan podniz. Prouči malo ovaj argument da bi bio siguran da ti je sve jasno.

U čemu je onda razlika između Košijevih i konvergentnih nizova realnih brojeva. Pa, razlike nema - to su isti objekti, bar kad smo u skupu realnih brojeva. Ipak nije uvek tako, ali da bi to video, potrebno je sagledati malo širu sliku. Pojam konvergencije i Košijevog niza se može uvesti kad god imamo metrički prostor. Metrički prostor je neki skup [inlmath]X[/inlmath] na kome je definisana funkcija rastojanja [inlmath]d[/inlmath] koja ima sledeće tri osobine ([inlmath]x,y,z\in X[/inlmath] su proizvoljni):
1. [inlmath]d(x,y) = 0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]x=y[/inlmath]
2. [inlmath]d(x,y)=d(y,x)[/inlmath]
3. [inlmath]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)[/inlmath]
Treći uslov je zapravo nejednakost trougla, a prvi i drugi uslov nema potrebe opravdavati. Ovi uslovi su najmanje što možemo tražiti od neke funkcije sa kojom želimo da merimo rastojanje.

U metričkom prostoru za niz [inlmath](a_n)[/inlmath] kažemo da konvergira ka [inlmath]a[/inlmath] ako važi [dispmath](\forall \varepsilon\gt0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(n\gt n_0\Rightarrow d(a,a_n)\lt\varepsilon).[/dispmath] Za niz [inlmath](a_n)[/inlmath] kažemo da je Košijev ako važi [dispmath](\forall \varepsilon\gt0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall n,m\in\mathbb{N})(n,m\gt n_0\Rightarrow d(a_m,a_n)\lt\varepsilon).[/dispmath]
Kao što vidiš definicije su potpuno nalik definicijama sa kojima si do sada radio.

Primer metričkog prostora je skup realnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] sa metrikom [inlmath]d(x,y)=|x-y|[/inlmath] (ovo je zapravo ono sa čim si do sada radio). Još jedan primer je skup racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] sa metrikom [inlmath]d(x,y)=|x-y|[/inlmath]. Iako ovi metrički prostori deluju da su slični, oni se razlikuju barem o sledećoj stvari: u prostoru racionalnih brojeva postoje Košijevi nizovi koji nisu konvergentni. Na primer Košijev niz aproksimacija broja [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath]:[dispmath]\begin{align}a_0&=1\\a_1&=1,4\\a_2&=1,41\\a_3&=1,414\\ &\vdots\end{align}[/dispmath] nije konvergentan niz u skupu racionalnih brojeva (jer da konvergira, on bi konvergirao iracionalnom broju [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath]). Dakle postoje prostori u kojima neki Košijevi nizovi nisu konvergentni. Ako u nekom metričkom prostoru svaki Košijev niz konvergira, tada taj prostor nazivamo kompletnim. Kao što smo videli prostor realnih brojeva je kompletan, a prostor racionalnih brojeva nije kompletan. E sad, postoji način da se od svakog prostora napravi kompletan metrički prostor (to je tzv. kompletiranje prostora). Štaviše, upravo je to jedan od načina konstrukcije skupa realnih brojeva iz skupa racionalnih brojeva.

S druge strane, u svakom metričkom prostoru svaki konvergentan niz je Košijev (samo pogledaj dokaz koji sam napisao na početku).
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 530
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 517 puta

Re: Košijev niz

Postod diopo » Subota, 29. Decembar 2018, 22:58

Hvala, jasnije je sad. Nismo pominjali metricke prostore, jer ne radimo toliko duboko matematiku posto sam na ETFu, a ne na matematickom, gde se, pretpostavljam, to radi mnogo temeljnije.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

  • +2

Re: Košijev niz

Postod ubavic » Nedelja, 30. Decembar 2018, 16:50

Ja sam u prethodnom postu zaboravio jednu veoma bitnu stvar da napišem: vrednosti funkcije [inlmath]d[/inlmath] su pozitivni realni brojevi. Dakle [inlmath]d\colon X\times X\rightarrow \mathbb{R}^+_0[/inlmath].

Valjalo bi da napomenem zašto je pojam Košijevog niza koristan. Ako imamo neki niz i želimo da dokažemo da on konvergira po definiciji, tada moramo da uzmemo neku tačku [inlmath]l[/inlmath] i da dokažemo da je [inlmath]l[/inlmath] granična vrednost tog niza. Kod Košijeve definicije to nije slučaj. Mi ne moramo unapred znati šta je [inlmath]l[/inlmath], sasvim su nam dovoljne osobine niza (ako radimo u kompletnom prostoru). U teoriji su česte situacije u kojima se ne može direktno pokazati da neki niz konvergira, ali se zato veoma lako pokaže da je niz Košijev.

Ja mislim da je veoma lepa primena Košijevog kriterijuma Banahova teorema o fiksnoj tački koja kaže: Neka je [inlmath](X,d)[/inlmath] kompletan metrički prostor i neka je [inlmath]f\colon X\rightarrow X[/inlmath] funkcija za koju postoji realan broj [inlmath]\lambda\in(0,1)[/inlmath] takav da važi [inlmath]d(f(x),f(y))\le\lambda d(x,y)[/inlmath] za sve [inlmath]x,y\in X[/inlmath]. Tada u [inlmath]X[/inlmath] postoji jedinstvena fiksna tačka funkcije [inlmath]f[/inlmath], odnosno postoji jedinstveno [inlmath]x\in X[/inlmath] takvo da je [inlmath]f(x)=x[/inlmath].

Banahov stav o fiksnoj tački se sasvim jednostavno dokazuje, dovoljno je znati šta je kompletan prostor i Košijev niz u njemu. Dokaz možeš pogledati na linku koji sam naveo. Dokaz stava daje metod za aproksimaciju granične vrednosti i ocenu greške, zbog čega se ovaj stav često koristi u numeričkoj matematici (verovatno ćeš ga raditi u nekom trenutku na fakultetu). Sa ovim stavom, možeš pronaći rešenje neke jednačine (ako si u prostoru [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]), rešenje neke diferencijalne jednačine (ako si u prostoru funkcija), itd... Primena je bezbroj. Primeti koliko je ovo sve moćno: na primer, problem rešavanja diferencijalne jednačine (koji je u opštem slučaju nerešiv), sveli smo na laganu primenu Banahovog stava (koji se zaista lako dokazuje) (naravno, ovo je moguće uraditi samo u specifičnim situacijama). Dakle, Košijevi nizovi imaju bitnu primenu.



Otišao sam ja predaleko već, a sada ću još dalje, ali će možda nekoga ko ovo bude čitao zanimati i naredne informacije:
U prostoru racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] možemo definisati [inlmath]p[/inlmath]-adičku apsolutnu vrednost na sledeći način: neka je [inlmath]p[/inlmath] prost broj i neka je [inlmath]m/n[/inlmath] racionalan broj takav da je [inlmath]m=p^am'[/inlmath] i [inlmath]n=p^bn'[/inlmath] gde [inlmath]a,b\in\mathbb{N}_0[/inlmath] i [inlmath]p\not\mid m'[/inlmath] i [inlmath]p\not\mid n'[/inlmath] (dakle "izvukao" sam što veće stepene broja [inlmath]p[/inlmath] iz brojeva [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]). Tada [inlmath]p[/inlmath]-adičku apsolutnu vrednost broja [inlmath]m/n[/inlmath], u oznaci [inlmath]|m/n|_p[/inlmath] definišemo kao [inlmath]p^{b-a}[/inlmath]. Ovakva apsolutna vrednost u nekom smislu meri koliko je racionalan broj deljiv brojem [inlmath]p[/inlmath].
Kao i kod realnih brojeva, od apsolutne vrednosti mogu napraviti metriku na sledeći način: [inlmath]d(q_1, q_2)=|q_1-q_2|_p[/inlmath] gde su [inlmath]q_1,q_2\in\mathbb{Q}[/inlmath] (potrebno je dokazati da je ovo zaista metrika). Kada se [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] kompletira u odnosu na [inlmath]|\cdot|_p[/inlmath] dobijamo skup [inlmath]p[/inlmath]-adičkih brojeva. Ovaj skup je ujedno i polje, baš kao i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], i označava se sa [inlmath]\mathbb{Q}_p[/inlmath]. Veoma je zanimljivo da i na ovom polju možemo vršiti analizu baš kao što to radimo na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Tako možemo uvesti pojmove [inlmath]p[/inlmath]-adičkih neprekidnih funkcija, integrala, Furijeovih redova i transformacija itd... Uz ovako razvijenu teoriju, neke duboke teoreme teorije brojeva koje su prvobitno imale komplikovane dokaze, elegantno se mogu dokazati računanjem nekih Furijeovih transformacija, na primer. Sve se to dobija, a pošli smo samo od Košijevih nizova i kompletiranja polja. Zaista neverovatno!
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 530
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 517 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 17. Oktobar 2019, 16:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs