Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Dokazati konvergenciju niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Dokazati konvergenciju niza

Postod diopo » Ponedeljak, 28. Januar 2019, 22:07

Pokazati da je niz [inlmath](x_n)[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], dat sa [inlmath]x_1=0[/inlmath], [inlmath]x_{n+1}=\frac{3x_n+2}{2x_n+1}[/inlmath] konvergentan i odrediti njegovu granicnu vrednost.

Neka je
[dispmath]x_{n+1}=f(x_n)[/dispmath][dispmath]f(x)'=\frac{-1}{(2x+1)^2},[/dispmath] te imamo da je funkcija opadajuca, sto znaci da iz glavnog niza mozemo da izdvojimo 2 podniza iz kojih se on sastoji i to:

i) [inlmath]x_{2n-1}[/inlmath]

ii) [inlmath]x_{2n}[/inlmath]

Ova dva niza su monotona i to tako da je jedan monotono rastuci, dok je drugi monotono opadajuci.
Dalje se indukcijom moze dokazati da je niz ogranicen, te ce i njegovi podnizovi biti ograniceni. Kako su oba podniza monotoni i ograniceni, sledi da su konvergentni. Sada treba pokazati da su te granicne vrednosti jednake. Kada to dokazemo, pozovemo se na teoremu koja kaze da ako je niz unija svojih konacno mnogo podnizova od kojih svaki ima granicnu vrednost [inlmath]a[/inlmath], onda je i granicna vrednost samog niza [inlmath]a[/inlmath].

Eh, sad, mene zanima da li postoji neka teorema koja kaze da ce oba ova podniza da budu monotoni ili ja moram to da dokazem za svaki posebno? U sustini to mi je i najtezi deo zadatka. Buni me ovo jer sam u nekoliko resenja video recenice tipa: ... Sledi da se niz moze rastaviti na [inlmath]x_{2n-1}[/inlmath] koji je rastuci i [inlmath]x_{2n}[/inlmath] koji je opadajuci, ili obrnuto.

Da li ovo "ili obrnuto" stoji tu samo da bi se ukazalo da je za zadatak nebitno koji raste a koji opada (sto je stvarno nebitno), ili postoji neka teorema ili definicija iz koje se u ovom slucaju odmah moze zakljuciti da postoje 2 podniza koji su monotoni (sto bi mnogo olaksalo posao).
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 17. Oktobar 2019, 22:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs