Suma stepenog reda

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 22:48
od sargarepa
Pozdrav, treba mi pomoć oko zadatka koji glasi:

Naći sumu stepenog reda
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{3^{n-2}}x^n[/dispmath] Pronašla sam da je poluprečnik [inlmath]R=3[/inlmath], pa dobijamo da dati stepeni red konvergira za sve [inlmath]x\in(-3,3)[/inlmath] ali sada ne znam kako da počnem da tražim sumu.
Hvala unaprijed. :D

Re: Suma stepenog reda

PostPoslato: Sreda, 15. April 2020, 19:27
od Onomatopeja
Da, poluprecnik je jednak [inlmath]3,[/inlmath] a dodatno se proveri da red divergira na granici, tj. za [inlmath]x\in\{-3,3\}.[/inlmath] Odnosno, konvergira ako i samo ako [inlmath]x\in (-3,3).[/inlmath]

Kako je [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{3^{n-2}}x^n = 9 \sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{3^{n}}x^n,[/inlmath] to je dovoljno odrediti [inlmath]\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{3^{n}}x^n[/inlmath] za [inlmath]x\in (-3,3).[/inlmath] Integracijom dobijamo da za fiskirano [inlmath]x\in (-3,3)[/inlmath] vazi
[dispmath]\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^x \sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+1)}{3^{n}}t^n\,dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^x \frac{n(n+1)}{3^{n}}t^n\, dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n+1}}{3^n}= x^2 \,\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}x^{n-1}}_{g(x)}.[/dispmath] Zamena mesta sume i integrala je obezbedjena jer dati red ravnomerno konvergira na [inlmath][0,x]\subset (-3,3)[/inlmath] za to fiskirano [inlmath]x.[/inlmath]

Slicno dobijamo [dispmath]\int_0^x g(t)\,dt = \sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^n = \frac{\frac{x}{3}}{1-\frac{x}{3}}=\frac{x}{3-x}.[/dispmath] Zato je [inlmath]\displaystyle g(x)=\biggl(\frac{x}{3-x}\biggr)^{\!\prime} = \frac{3}{(x-3)^2},[/inlmath] odnosno [inlmath]\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt = \frac{3x^2}{(x-3)^2}.[/inlmath] Vracanjem diferenciranjem jos jednom unazad dobijamo [inlmath]\displaystyle f(x)=\biggl(\frac{3x^2}{(x-3)^2}\biggr)^{\!\prime} = \frac{18x}{(3-x)^3}.[/inlmath] Kako prethodni postupak ne zavisi od izbora [inlmath]x\in (-3,3)[/inlmath] to vazi [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{18x}{(3-x)^3}[/inlmath] za sve [inlmath]x\in (-3,3),[/inlmath] tj. pocetni red potice od razvoja funkcije [inlmath]\displaystyle \frac{162x}{(3-x)^3}[/inlmath] za [inlmath]x\in(-3,3).[/inlmath]