Aritmetički niz – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Nedelja, 07. Jul 2019, 17:41
od Stefan Boricic
Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
15. zadatak


Ako za aritmetički niz [inlmath](a_n)[/inlmath] važi [inlmath]a_1+a_7=22[/inlmath] i [inlmath]a_3a_4=88[/inlmath], onda je [inlmath]a_7[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;17;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;18;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;19;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;20;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;21;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Neka je [inlmath]d[/inlmath] razlika aritmetičkog niza, pa onda važi:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath] Po ovome će biti:
[dispmath]a_7=a_1+6d\\
a_4=a_1+3d[/dispmath] Sada imamo da je:
[dispmath]2a_4=2a_1+6d=22[/dispmath] To smo dobili iz [inlmath]a_1+a_7=22[/inlmath] menjajući [inlmath]a_7[/inlmath], a što je isto kao [inlmath]2a_4[/inlmath].
Iz ove jednačine imamo da je [inlmath]a_4=11[/inlmath].
A iz [inlmath]a_3a_4=88[/inlmath] nalazimo da je [inlmath]a_3=8[/inlmath].
Pošto je [inlmath]d[/inlmath] razlika aritmetičkog niza onda je:
[dispmath]d=a_4-a_3\\
d=3[/dispmath] Sada znamo [inlmath]d[/inlmath], a samim znamo i prvi član niza, [inlmath]a_1=2[/inlmath].
Sada je [inlmath]a_7[/inlmath]:
[dispmath]a_7=2+6\cdot3\\
\enclose{box}{a_7=20}[/dispmath]