Aritmetički niz – prvi probni prijemni FON 2019.
Poslato: Sreda, 10. Jul 2019, 14:02
Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
14. zadatak
Ako je suma prvih deset članova aritmetičkog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots[/inlmath] jednaka [inlmath]11[/inlmath] i ako je [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath], onda je [inlmath]a_{15}[/inlmath] jednak:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;8;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-5;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Zapisaćemo date podatke:
[dispmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11\\
a_3+a_4+a_5=a_{12}[/dispmath] Svaki član niza [inlmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11[/inlmath] zapisaćemo pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath] Kada to sredimo, dobijamo:
[dispmath]10a_1+45d=11[/dispmath] Član [inlmath]a_{12}[/inlmath] niza [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath] prebacićemo na levu stranu:
[dispmath]a_3+a_4+a_5-a_{12}=0[/dispmath] I njega ćemo preurediti korišćenjem gore navedene formule:
[dispmath]2a_1-2d=0[/dispmath] Sada imamo sistem koji ćemo rešiti:
[dispmath]10a_1+45d=11\\
2a_1-2d=0\quad\big/\cdot(-5)\\
10a_1+45d=11\\
-10a_1+10d=0[/dispmath] Sabraćemo jednačine i tako eliminisati [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]55d=11\\
d=\frac{1}{5}[/dispmath] Ubacićemo to u neku od jednačina i dobiti:
[dispmath]a_1=\frac{1}{5}[/dispmath] Pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza ćemo izračunati [inlmath]a_{15}[/inlmath]:
[dispmath]a_{15}=a_1+14d\\
a_{15}=\frac{1}{5}+14\cdot\frac{1}{5}\\
a_{15}=\frac{1}{5}+\frac{14}{5}\\
a_{15}=\frac{15}{5}\\
\enclose{box}{a_{15}=3}[/dispmath]
14. zadatak
Ako je suma prvih deset članova aritmetičkog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots[/inlmath] jednaka [inlmath]11[/inlmath] i ako je [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath], onda je [inlmath]a_{15}[/inlmath] jednak:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;8;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-5;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Zapisaćemo date podatke:
[dispmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11\\
a_3+a_4+a_5=a_{12}[/dispmath] Svaki član niza [inlmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11[/inlmath] zapisaćemo pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath] Kada to sredimo, dobijamo:
[dispmath]10a_1+45d=11[/dispmath] Član [inlmath]a_{12}[/inlmath] niza [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath] prebacićemo na levu stranu:
[dispmath]a_3+a_4+a_5-a_{12}=0[/dispmath] I njega ćemo preurediti korišćenjem gore navedene formule:
[dispmath]2a_1-2d=0[/dispmath] Sada imamo sistem koji ćemo rešiti:
[dispmath]10a_1+45d=11\\
2a_1-2d=0\quad\big/\cdot(-5)\\
10a_1+45d=11\\
-10a_1+10d=0[/dispmath] Sabraćemo jednačine i tako eliminisati [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]55d=11\\
d=\frac{1}{5}[/dispmath] Ubacićemo to u neku od jednačina i dobiti:
[dispmath]a_1=\frac{1}{5}[/dispmath] Pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza ćemo izračunati [inlmath]a_{15}[/inlmath]:
[dispmath]a_{15}=a_1+14d\\
a_{15}=\frac{1}{5}+14\cdot\frac{1}{5}\\
a_{15}=\frac{1}{5}+\frac{14}{5}\\
a_{15}=\frac{15}{5}\\
\enclose{box}{a_{15}=3}[/dispmath]