Stranica 1 od 1

Aritmetički niz – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 15:02
od Stefan Boricic
Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
14. zadatak


Ako je suma prvih deset članova aritmetičkog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots[/inlmath] jednaka [inlmath]11[/inlmath] i ako je [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath], onda je [inlmath]a_{15}[/inlmath] jednak:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;8;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-5;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Zapisaćemo date podatke:
[dispmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11\\
a_3+a_4+a_5=a_{12}[/dispmath] Svaki član niza [inlmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11[/inlmath] zapisaćemo pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath] Kada to sredimo, dobijamo:
[dispmath]10a_1+45d=11[/dispmath] Član [inlmath]a_{12}[/inlmath] niza [inlmath]a_3+a_4+a_5=a_{12}[/inlmath] prebacićemo na levu stranu:
[dispmath]a_3+a_4+a_5-a_{12}=0[/dispmath] I njega ćemo preurediti korišćenjem gore navedene formule:
[dispmath]2a_1-2d=0[/dispmath] Sada imamo sistem koji ćemo rešiti:
[dispmath]10a_1+45d=11\\
2a_1-2d=0\quad\big/\cdot(-5)\\
10a_1+45d=11\\
-10a_1+10d=0[/dispmath] Sabraćemo jednačine i tako eliminisati [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]55d=11\\
d=\frac{1}{5}[/dispmath] Ubacićemo to u neku od jednačina i dobiti:
[dispmath]a_1=\frac{1}{5}[/dispmath] Pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza ćemo izračunati [inlmath]a_{15}[/inlmath]:
[dispmath]a_{15}=a_1+14d\\
a_{15}=\frac{1}{5}+14\cdot\frac{1}{5}\\
a_{15}=\frac{1}{5}+\frac{14}{5}\\
a_{15}=\frac{15}{5}\\
\enclose{box}{a_{15}=3}[/dispmath]

Re: Aritmetički niz – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jul 2019, 17:08
od Daniel
Stefan Boricic je napisao:Svaki član niza [inlmath]a_1+a_2+\cdots+a_{10}=11[/inlmath] zapisaćemo pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza:
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d[/dispmath] Kada to sredimo, dobijamo:
[dispmath]10a_1+45d=11[/dispmath]

Nadam se da nisi zaista za svaki od deset članova niza primenjivao [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath]. :crazy: Imaš gotovu formulu za sumu [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza, [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath], u ovom slučaju [inlmath]S_{10}=\frac{10}{2}\bigl(a_1+(a_1+9d)\bigr)=11[/inlmath], odakle sledi [inlmath]10a_1+45d=11[/inlmath].

Stefan Boricic je napisao:[dispmath]2a_1-2d=0[/dispmath] Sada imamo sistem koji ćemo rešiti:
[dispmath]10a_1+45d=11\\
2a_1-2d=0\quad\big/\cdot(-5)[/dispmath]

Zar nije bilo mnogo lakše odavde odmah uočiti da je [inlmath]a_1=d[/inlmath] i to uvrstiti u prvu jednačinu? :)

Stefan Boricic je napisao:[dispmath]d=\frac{1}{5}[/dispmath] Ubacićemo to u neku od jednačina i dobiti:
[dispmath]a_1=\frac{1}{5}[/dispmath] Pomoću formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza ćemo izračunati [inlmath]a_{15}[/inlmath]:
[dispmath]a_{15}=a_1+14d\\
a_{15}=\frac{1}{5}+14\cdot\frac{1}{5}\\
\vdots[/dispmath]

I ovde isto. Uvrsti se [inlmath]a_1=d[/inlmath] u prvu jednačinu, dobije se [inlmath]a_{15}=15a_1=\frac{15}{5}=3[/inlmath]. Čemu komplikovanje? :)

Re: Aritmetički niz – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jul 2019, 18:03
od Stefan Boricic
Naravno da nisam, ali neko možda i tako radi! :lol: :lol: :lol: