Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Niz je odredjen uslovima – prijemni MATF 2019.

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Niz je odredjen uslovima – prijemni MATF 2019.

Postod Griezzmiha » Petak, 29. Maj 2020, 19:25

Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
14. zadatak


Dobar dan jos jednom od mene! Sada imam pitanje u vezi nizova.... Zadatak glasi:
Niz [inlmath](a_n)[/inlmath] je odredjen uslovima [inlmath]a_1=3[/inlmath], [inlmath]a_2=15[/inlmath] i [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. Clan [inlmath]a_{2019}[/inlmath] tog niza je jednak:

[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;15\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{1}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{1}{5}\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{ne znam}[/inlmath]

Problem je sledeci, ja znam iz svega da je [inlmath]a_3=5[/inlmath] ali kako mogu da tvrdim da ce se isto desavati sa svim sledecim parovima... Ja u sustini, zbog resenja koje kaze da je [inlmath]a_{2019}=5[/inlmath] zakljucujem da je svaki treci clan jednak [inlmath]a_1[/inlmath]. Na primer [inlmath]a_4=a_1[/inlmath], [inlmath]a_7=a_4=a_1[/inlmath] i tako dalje... Pa bih iz toga [inlmath]2019[/inlmath] oduzeo sa [inlmath]3[/inlmath] i dobio [inlmath]2016[/inlmath] odnosno [inlmath]a_{2016}[/inlmath] tj. clan koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], tj. sa tom periodom i posto je on deljiv automatski znam da se ista perioda ponavlja sa [inlmath]a_{2017}[/inlmath], delili smo da ne bi brojali redom (sto bi bilo apsurdno)

Problem je sto ne znam da je dokazem tu periodicnost. Moze li neko da mi objasni kako se pojavljuje ova periodicnost? Da je tako nazovem. Mogu sve to da upotrebim i sve to shvatam, ali ne znam kako da je dokazem.
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 29. Maj 2020, 20:32, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Niz je odredjen uslovima

Postod Frank » Petak, 29. Maj 2020, 20:33

Pomocu niza [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] i prva dva clana koja su poznata, mozes odrediti treci, cetvrti, peti, sesti, ... clan niza [inlmath]a_n[/inlmath]. Kad to uradis uocices neku pravilnost, tj. periodicnost.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Niz je odredjen uslovima – prijemni MATF 2019.

Postod Griezzmiha » Petak, 29. Maj 2020, 21:09

Mislis mozda, da [inlmath]a_4[/inlmath] odredim preko onog izraza da je (u ovom slucaju) [inlmath]2a_3=a_2+a_4[/inlmath]... Mozda tako i onda primetim periodicnost, i to je to?
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Niz je odredjen uslovima – prijemni MATF 2019.

Postod Frank » Subota, 30. Maj 2020, 07:29

Cetvrti clan niza odredis tako sto u nizu [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] umesto [inlmath]n[/inlmath] pises [inlmath]2[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]a_4=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}[/inlmath]. Isti postupak i za svaki sledeci clan, s tim sto se [inlmath]n[/inlmath] uvecava za jedan.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Niz je odredjen uslovima – prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Subota, 30. Maj 2020, 09:36

Griezzmiha je napisao:Mislis mozda, da [inlmath]a_4[/inlmath] odredim preko onog izraza da je (u ovom slucaju) [inlmath]2a_3=a_2+a_4[/inlmath]...

Ta formula (ne izraz) važi samo onda kada je niz aritmetički. Međutim, nigde u tekstu ovog zadatka nije navedeno da je dati niz aritmetički (štaviše, lako se može pokazati i da ne može biti aritmetički). Tako da ta formula u ovom slučaju otpada.

Može se rešiti i bez računanja članova niza, tako što se iz [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] zaključi da važi i [inlmath]a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/inlmath], a zatim se [inlmath]a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/inlmath] uvrsti u [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] i dobije se
[dispmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{a_n}{a_{n-1}}}{a_n}=\frac{1}{a_{n-1}}[/dispmath] Iz [inlmath]a_{n+2}=\frac{1}{a_{n-1}}[/inlmath], naravno, sledi i [inlmath]a_{n+3}=\frac{1}{a_n}[/inlmath], a odatle i [inlmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}[/inlmath]. Sada, ako u [inlmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}[/inlmath] uvrstimo [inlmath]a_{n+3}=\frac{1}{a_n}[/inlmath], dobijamo
[dispmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}=\frac{1}{\frac{1}{a_n}}=a_n[/dispmath] čime smo došli do periodičnosti, tj. dokazali da se vrednosti periodično ponavljaju kod svakog šestog člana niza.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs