Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
14. zadatak
Dobar dan jos jednom od mene! Sada imam pitanje u vezi nizova.... Zadatak glasi:
Niz [inlmath](a_n)[/inlmath] je odredjen uslovima [inlmath]a_1=3[/inlmath], [inlmath]a_2=15[/inlmath] i [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. Clan [inlmath]a_{2019}[/inlmath] tog niza je jednak:
[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;15\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{1}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{1}{5}\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{ne znam}[/inlmath]
Problem je sledeci, ja znam iz svega da je [inlmath]a_3=5[/inlmath] ali kako mogu da tvrdim da ce se isto desavati sa svim sledecim parovima... Ja u sustini, zbog resenja koje kaze da je [inlmath]a_{2019}=5[/inlmath] zakljucujem da je svaki treci clan jednak [inlmath]a_1[/inlmath]. Na primer [inlmath]a_4=a_1[/inlmath], [inlmath]a_7=a_4=a_1[/inlmath] i tako dalje... Pa bih iz toga [inlmath]2019[/inlmath] oduzeo sa [inlmath]3[/inlmath] i dobio [inlmath]2016[/inlmath] odnosno [inlmath]a_{2016}[/inlmath] tj. clan koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], tj. sa tom periodom i posto je on deljiv automatski znam da se ista perioda ponavlja sa [inlmath]a_{2017}[/inlmath], delili smo da ne bi brojali redom (sto bi bilo apsurdno)
Problem je sto ne znam da je dokazem tu periodicnost. Moze li neko da mi objasni kako se pojavljuje ova periodicnost? Da je tako nazovem. Mogu sve to da upotrebim i sve to shvatam, ali ne znam kako da je dokazem.