Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Matematicka indukcija – dokazivanje nejednakosti

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Matematicka indukcija – dokazivanje nejednakosti

Postod DafiMjesalica » Sreda, 14. Oktobar 2020, 20:31

Pozdrav, imam jedno pitanje za forumase. Prva godina sam faksa i opet se susrecem sa matematickom indukcijom kao i sa dokazivanjem nejednakosti. U srednjoj skoli se nije toliko obracala paznja na dokazivanje nejednakosti i sada imam problema. Bukvalno ne mogu skontati koji je postupak tj. ne znam dalje od baze indukcije i induktivne pretpostavke. Zbunjuje me proces kod koraka, zato sto se mjesa bukvalno odjednom [inlmath]>[/inlmath] pa [inlmath]=[/inlmath] pa opet [inlmath]>[/inlmath].
Evo npr. ima da dokazemo [inlmath]2^n>n^2[/inlmath] za [inlmath]n\ge5[/inlmath]

Prvo dokazimo [inlmath]P(5)[/inlmath] tj. bazu indukcije:
[dispmath]2^5>5^2\;\Longrightarrow\;32>25[/dispmath] sto je tacno
Pretpostavimo da tvrdjenje vrijedi za [inlmath]n=k[/inlmath], [inlmath]k\ge5[/inlmath]
[dispmath]2^k>k^2[/dispmath] i dokazimo da vrijedi na [inlmath]n=k+1[/inlmath]
[dispmath]2^{k+1}=2\cdot2^k>2\cdot k^2>(k+1)^2\\
2k^2>k^2+2k+1\\
(k-1)^2>2[/dispmath] posto je [inlmath]k\ge5[/inlmath] ovaj uslov je zadovoljen i tvrdnja je dokazana.

Ovo je jedan lagan primjer ali ja ga opet ne mogu shvatiti kako smo dosli do ovoga, vidim da ima veze sa induktivnom pretpostvakom ali opet :nene:
Da li postoji neki ustaljeni nacin za dokazivanje nejednakosti pomocu matematicke indukcije, pa ako je neko voljan i slobodan da malo pojasni dokazivanje nejednakosti. Unaprijed hvala na odgovorima!!!
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matematicka indukcija – dokazivanje nejednakosti

Postod Srdjan01 » Sreda, 14. Oktobar 2020, 21:53

Pozdrav,
Prilikom dokazivanja pomocu matematicke indukcije imamo:
[inlmath]1.[/inlmath] Baza indukcije za [inlmath]n=1[/inlmath] (u tvom slucaju [inlmath]n\ge5[/inlmath], jer je to dato u uslovu zadatka).
[inlmath]2.[/inlmath] Pretpostavka: [inlmath]n=k[/inlmath]
[inlmath]3.[/inlmath] Indukcioni korak [inlmath]n=k+1[/inlmath]

Baza indukcije, dokazujemo za [inlmath]n\ge5[/inlmath]
[dispmath]32>25[/dispmath] Pretpostavka [inlmath]n=k[/inlmath]
U pretpostavci jednostavno zamjenis [inlmath]n[/inlmath] sa [inlmath]k[/inlmath].
[dispmath]2^k>k^2[/dispmath] Sada radiš indukcioni korak, u indukcionom koraku zamjenis [inlmath]n=k+1[/inlmath], pa imas:
[dispmath]2^{k+1}>(k+1)^2=\\
2^k\cdot2>(k+1)^2[/dispmath] E sada, u indukcionom koraku, vidimo da imamo pretpostavku koja kaze da je [inlmath]2^k>k^2[/inlmath], pa nju zamjenimo u indukcioni korak.
[dispmath]2k^2>(k+1)^2\\
2k^2>k^2+2k+1\\
k^2>2k+1\\
k^2-2k+1-2>0\\
(k-1)^2>2,\;k\ge5[/dispmath] [inlmath]k^2-2k+1-2>0[/inlmath] smo malo drugacije zapisali, kako bismo dobili sto laksi izraz, da bismo mogli zakljuciti da nejednakost vrijedi. I zaista, zakljucujemo da nejednakost vrijedi za [inlmath]k\ge5[/inlmath].
Korisnikov avatar
 
Postovi: 92
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs