jovica je napisao:ahm, ali koja je onda razlika izmedju granicne vrednosti niza i tacke nagomilavanja, s tim naravno da niz moze imati samo jednu granicnu vrednost, a tacki nagomilavanja moze biti vise?
Striktna definicija granične vrednosti niza bila bi:
[inlmath]a[/inlmath] je granična vrednost niza [inlmath]x_n[/inlmath] ako važi:
[dispmath]\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists n_0\in\mathbb{N}\right)\left(\forall n\ge n_0\right)\:\left|x_n-a\right|<\varepsilon[/dispmath]
Pokušaću da ovako rogobatno napisanu definiciju interpretiram što je moguće jednostavnije.
[inlmath]a[/inlmath] je granična vrednost niza [inlmath]x_n[/inlmath] kada se, počev od nekog određenog člana niza [inlmath]x_{n_0}[/inlmath] pa nadalje, svi naredni članovi tog niza nalaze unutar bilo kog unapred zadatog intervala [inlmath]\left(a-\varepsilon,a+\varepsilon\right)[/inlmath].
To znači, ti mi zadaš neku koliko god hoćeš malu okolinu tačke [inlmath]a[/inlmath], npr. [inlmath]\left(a-0,001,a+0,001\right)[/inlmath], a ja ti i za tako malu okolinu nađem neki član niza, npr. [inlmath]154.[/inlmath] član niza, počev od kojeg će svi članovi tog niza biti unutar tog intervala – znači, [inlmath]154., 155.,\ldots ,73485.[/inlmath] član itd., svi će oni biti unutar tog intervala koji si mi zadao. Zadaš mi zatim neki još manji interval, ja ću ti opet naći neki član niza, npr. lupam, [inlmath]274.[/inlmath] član, počev od kojeg će svi biti unutar tog novog, još manjeg intervala. Kada ne možeš da mi zadaš nijedan dovoljno mali interval oko tačke [inlmath]a[/inlmath] takav da ja ne mogu da nađem član niza počev od kojeg pa nadalje će svi biti unutar tog intervala, e to je onda granična vrednost tog niza. Nadam se da sam ovime uspeo ono čudovište od formulacije makar malo da pojasnim.
jovica je napisao:i jel onda granicna vrednost isto sto i tacka nagomilavanja, u slucaju da postoji samo jedna tacka nagomilavanja?
Ako granična vrednost niza postoji, onda da. To sledi iz same definicije granične vrednosti niza (napisane iznad), jer iz te definicije zaključujemo da se u svakoj maloj okolini granične vrednosti nalazi beskonačno mnogo članova niza, dok je izvan te okoline broj članova niza konačan.
Međutim, evo ti primer niza koji ima samo jednu tačku nagomilavanja, ali nema graničnu vrednost (tj. divergira):
[dispmath]x_n=\begin{cases}
5+\frac{1}{n}, & n\mbox{ neparno}\\
\\
n, & n\mbox{ nparno}
\end{cases}[/dispmath]
Taj niz će imati samo jednu tačku nagomilavanja, tačku [inlmath]5[/inlmath]. U njenoj desnoj okolini će se nagomilavati svi članovi niza čiji je redni broj neparan. Ali, to neće biti granična vrednost niza, budući da ne možemo naći dovoljno veliko [inlmath]n_0[/inlmath] počev od kojeg će se svi naredni članovi niza nalaziti unutar okoline tačke [inlmath]5[/inlmath] – oni s neparnim rednim brojevima hoće, ali oni s parnim rednim brojevima ne.