Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Oblast definisanosti funkcije – prijemni ETF 2018.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Oblast definisanosti funkcije – prijemni ETF 2018.

Postod diopo » Četvrtak, 28. Jun 2018, 18:27

Prijemni ispit ETF – 25. jun 2018.
18. zadatak


Eh, evo prodje prijemni, a mene i dalje buni zadatak koji mi je i tamo predstavljao problem, pa ako mozemo ovde da ga resimo.

18. Oblast definisanosti funkcije [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{\cos^2x+\sin x\cos x-1}}{\log_\frac{1}{7}\left(9-x^2\right)}[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a,b,c,d,e[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<e<+\infty)[/inlmath]:

Tacan odgovor: [inlmath][d,e]\cup(a,c]\setminus\{b\}[/inlmath]

Prvo, izraz u logaritmu mora da bude veci od [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]9-x^2>0\\
x^2<0\\
x\in(-3,3)[/dispmath] Zatim, imenilac mora da bude razlicit od [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\log_{\frac{1}{7}}(9-x^2)\ne0\\
9-x^2\ne1\\
x^2\ne\pm2\sqrt2[/dispmath] Dakle:
[dispmath]x\in\left(-3,-2\sqrt2\right)\cup\left(-2\sqrt2,2\sqrt2\right)\cup\left(2\sqrt2,3\right)[/dispmath] I sada treba naci slucajeve kada je potkorena velicina veca ili jednaka nuli. Nikako ne mogu da uradim da se lepo preklope intervali, dobijam [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right].[/inlmath]

Moze li neko da resi?
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Oblast definisanosti funkcije – prijemni ETF 2018.

Postod bobanex » Četvrtak, 28. Jun 2018, 19:29

[dispmath]x\in\left[-\pi,-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[0,\frac{\pi}{4}\right][/dispmath] Probaj sa ovim intervalom.
[dispmath]\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left(-3,-\frac{3\pi}{4}\right]\setminus\left\{-2\sqrt2\right\}[/dispmath] Ovo bi trebalo da je krajnje rešenje.
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 461
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 465 puta

  • +2

Re: Oblast definisanosti funkcije – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Petak, 29. Jun 2018, 00:40

diopo je napisao:I sada treba naci slucajeve kada je potkorena velicina veca ili jednaka nuli. Nikako ne mogu da uradim da se lepo preklope intervali, dobijam [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right][/inlmath].

Dakle, ovde ti je greška jer nisi uzimao u obzir periodičnost rešenja. Rešenje nejednačine [inlmath]\cos^2x+\sin x\cos x-1\ge0[/inlmath] treba da bude [inlmath]x\in\left[2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right]\cup\left[\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right][/inlmath] (ili, kraće zapisano, [inlmath]x\in\left[k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\right][/inlmath]). Zatim treba da pronađeš vrednosti [inlmath]k[/inlmath] za koje će se interval preklapati s malopre određenim intervalom [inlmath](-3,3)[/inlmath].
Pri tom je lakše ako se ima u vidu da je [inlmath](-3,3)[/inlmath] podinterval intervala [inlmath](-\pi,\pi)[/inlmath], što znači da se [inlmath](-3,3)[/inlmath] nalazi unutar jednog punog obrtaja na trigonometrijskoj kružnici, pa samo unutar njega ima smisla tražiti rešenje trigonometrijske nejednačine.

Inače, za rešavanje nejednačine [inlmath]\cos^2x+\sin x\cos x-1\ge0[/inlmath] ja vidim neka dva načina, ravnopravna po jednostavnosti/komplikovanosti. Jedan je da se [inlmath]\cos^2x-1[/inlmath] napiše kao [inlmath]-\sin^2x[/inlmath], izvuče se sinus kao zajednički i ostane [inlmath]\sin x(\cos x-\sin x)\ge0[/inlmath]. Drugi je da se sve izrazi preko dvostrukog ugla (što je zgodno jer imamo kvadrat kosinusa, a takođe imamo i [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath], koji predstavlja polovinu od [inlmath]\sin2x[/inlmath]).

bobanex je napisao:[dispmath]\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left(-3,-\frac{3\pi}{4}\right]\setminus\left\{-2\sqrt2\right\}[/dispmath] Ovo bi trebalo da je krajnje rešenje.

Potvrđujem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3824 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Oblast definisanosti funkcije – prijemni ETF 2018.

Postod diopo » Petak, 29. Jun 2018, 10:58

Eto, glupa greska, ali priznajem da tamo ne bih imao tu ideju nikad ... Hvala :)
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 12. Decembar 2018, 04:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs