Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najmanja i najveca vrednost funkcije

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najmanja i najveca vrednost funkcije

Postod Obi » Nedelja, 25. Novembar 2018, 01:53

Nemam resenje zadatka. Zadatak je sledeci.

Naci najmanju i najvecu vrednost funkcije na intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{x^2+x+1}[/dispmath] Sada ovako..
Ako se uzme da je [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath], dobijamo [inlmath]y=\frac{1}{3}[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath].
Mislio sam da se tako radi, tj. da je maksimum funkcije [inlmath]1[/inlmath], a minimum [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
Setio sam se da je [inlmath]a>0[/inlmath] pa da mozemo da stavimo da je minimum funkcije u imeniocu jednak:
[dispmath]\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{3}{4}[/dispmath] Gde je [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}[/dispmath] sto je u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath], i onda je maksimum nase funkcije reciprocna vrednost, sto je [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath] i vece je od [inlmath]1[/inlmath].
Sto znaci da ne mogu da ubacujem jednostavno najmanji i najveci broj iz intervala?
Kako onda dobiti maksimum?

Inace druga godina sam gimnazije prirodno-matematicki smer, ovo radim kao neku pripremu za takmicenje i prvi put se srecem sa zadatkom ovakvog tipa.
Potrudio sam se da naucim Latex, ali prvi put ga koristim, pa verovatno ima bas dosta gresaka.. :facepalm:
Hvala unapred na odgovoru. :mhm:
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 25. Novembar 2018, 03:31, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
Obi  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije

Postod Daniel » Nedelja, 25. Novembar 2018, 03:31

Upravo kao što si i radio, prvo treba odrediti maksimum i minimum funkcije u imeniocu na zadatom intervalu. Gde je minimum funkcije u imeniocu tu će biti maksimum cele funkcije i obratno.
Minimum kvadratne funkcije si dobro odredio, to je svakako njeno teme, jer ono pripada zadatom intervalu. Tu je i maksimum cele funkcije. Koliko sam razumeo, sada te buni kako da odrediš gde je maksimum kvadratne funkcije (a samim tim i gde je minimum cele funkcije). Potrebno je samo da nacrtaš (ili zamisliš) grafik te kvadratne funkcije u odnosu na granice zadatog intervala:

parabola.png
parabola.png (1.5 KiB) Pogledano 58 puta

Na slici je grafik koji pripada intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] nacrtan podebljano, jer samo taj interval i posmatramo. Očigledno je da se maksimum te funkcije na zadatom intervalu mora nalaziti na jednoj od granica tog intervala. A na kojoj od te dve granice – intuitivno bi trebalo da je jasno da će maksimum kvadratne funkcije biti u onoj granici intervala koja je dalja od temena (što se vidi i sa grafika), ali ako nisi u to sasvim siguran, možeš do toga doći i tako što računaš vrednost kvadratne funkcije na svakoj od te dve granice i vidiš koja od te dve vrednosti je veća. Ili, možeš odmah računati vrednosti i za celu funkciju u svakoj od dve granice intervala (što si već i učinio) i videti koja od te dve vrednosti je manja – tu će biti minimum.

Latex ti je OK za početak, malo sam ga doterao, jer je lepše kad se za razlomke koristi komanda \frac – kako bi zaista i bili prikazani kao razlomci. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije

Postod Obi » Nedelja, 25. Novembar 2018, 13:58

Hvala puno, razumem sada. Mislio sam da se tako traze i maksimum i minimum pa kad sam video da se minimum ne trazi tako automatski sam mislio da ne moze ni maksimum. Uglavnom, maksimum je uvek na nekoj od granici intervala, doduse tako se trazi minimum verovatno kod opadajuce funkcije?.. :)
Obi  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije

Postod Daniel » Nedelja, 25. Novembar 2018, 22:47

Obi je napisao:Mislio sam da se tako traze i maksimum i minimum pa kad sam video da se minimum ne trazi tako automatski sam mislio da ne moze ni maksimum.

Kod ovakvih zadataka nikako ne treba razmišljati mehanički. Uvek treba „vizuelizovati“ situaciju – tj. zamisliti grafik funkcije, zamisliti zadati interval na istom tom grafiku i uočiti ponašanje funkcije na tom intervalu. Zatim zaključiš gde ima smisla tražiti minimalnu, a gde maksimalnu vrednost.

Obi je napisao:Uglavnom, maksimum je uvek na nekoj od granici intervala,

Pa, nije uvek. :) Npr. kod kvadratne funkcije, ako je koeficijent uz kvadratni član negativan, teme će predstavljati maksimum. I, ako se to teme nalazi negde unutar intervala, tada maksimum neće biti na nekoj od granica intervala, nego će biti baš tu – u temenu. Upravo to što malopre rekoh – ne sme se razmišljati mehanički.
Ali, ako se teme kvadratne funkcije nalazi izvan posmatranog intervala, onda će u posmatranom intervalu funkcija biti monotona (jer tada interval obuhvata deo samo jednog kraka te funkcije), pa će se minimum nalaziti na jednoj granici, a maksimum na drugoj.

Obi je napisao:doduse tako se trazi minimum verovatno kod opadajuce funkcije?.. :)

To je ovo što malopre napisah. :) Kod opadajuće funkcije leva granica intervala će biti maksimum, a desna minimum. Kod rastuće funkcije obratno. Opet kažem, pokušaj da zamisliš ili nacrtaš grafik pa će ti s grafika sve to biti logično.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije

Postod Obi » Ponedeljak, 26. Novembar 2018, 00:34

Razumeo sam u potpunosti sada. Hvala. :)
Obi  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Decembar 2018, 21:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs