Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Kompozicija funkcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Kompozicija funkcija

Postod Vv123 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 19:29

Za sve skupove [inlmath]X[/inlmath] i funkcije [inlmath]f,g\colon X\to X[/inlmath] vazi: ako je [inlmath]g\circ f[/inlmath] "na", onda je i [inlmath]f[/inlmath] "na".

Kako odrediti da li je ovo tacno? Da li neka slika moze pomoci? Da li ima razlike da je pisalo da [inlmath]X\to Y[/inlmath], a ne [inlmath]X\to X[/inlmath]. Znam da je razlika u skupu gde funkcija slika skup [inlmath]X[/inlmath]. U jednom slucaju slika u [inlmath]Y[/inlmath], a u drugom u sebe.
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kompozicija funkcija

Postod Jovan111 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 20:22

Naravno da ima razlike. Upravo ovo tvrđenje svoje utemeljenje ima u tome da je u pitanju [inlmath]f,g\colon X\to X[/inlmath], jer po definiciji da bi postojala funkcija svaki element domena mora imati sliku u kodomenu, te pošto je ovde funkcija definisana nad jednim skupom, u njemu su i originali i slike. Ako je kompozicija koju si naveo/la surjektivna ("na"), onda u [inlmath]X[/inlmath] mora svaki original da se slika u neku sliku (i to samo jednu da bi postojala funkcija), a pošto je kompozicija "na" onda će i svaka slika (u kodomenu funkcije [inlmath]g[/inlmath]) imati svoj original (u domenu funkcije [inlmath]f[/inlmath]), te nema slike bez originala ni originala bez slike i otuda i preslikavanje [inlmath]f[/inlmath] biva surjektivno.

kompozicija funkcija.png
kompozicija funkcija.png (13.17 KiB) Pogledano 863 puta

Iznad je prikazana kompozicija, za koju [inlmath]f[/inlmath] nije "na" (postoji slika koja nema svoj original - u kodomenu funkcije [inlmath]f[/inlmath] zaokružena plavom). Da li je onda moguće da kompozicija na kraju bude "na" ako [inlmath]f[/inlmath] nije "na"? Sa slike iznad vidimo da će zaostati element skupa [inlmath]X[/inlmath] koji nema svoj original (kodomen funkcije [inlmath]g[/inlmath]). Dakle, ovako smo izveli nimalo strog dokaz, ali nadam se da ti je jasnije, ako ja nisam nešto pogrešno razumeo ili ucrtao.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Kompozicija funkcija

Postod Vv123 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 21:45

Hvala!!!
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Kompozicija funkcija

Postod Vv123 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 22:02

Zakljucak je da je ovo tvrdjenje tacno? U resenju stoji da je netacno.
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Kompozicija funkcija

Postod Jovan111 » Četvrtak, 14. Februar 2019, 23:13

Uff... Izgleda da nisam dobro pročitao zadatak. Izvinjavam se zaista.

Zapravo, tačno je da ako su [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] surjekcije, onda je i [inlmath]f\circ g[/inlmath] surjekcija. Međutim, ovo je implikacija, a ne ekvivalencija, te ne mora da važi i obrnuto. Naime, ako je [inlmath]g\circ f[/inlmath] surjektivno preslikavanje, onda je [inlmath]g[/inlmath] surjektivno, ali [inlmath]f[/inlmath] ne mora da bude (dakle, tvrđenje nije tačno, jer implikacija ne mora uvek da bude tačna).

Ali evo sada ću ti to konačno i dokazati (izvini za ono malopre). Da bismo ga dokazali suština je da govorimo uopšteno, ali da dokaz ne bude previše strog da ga ne razumeš. Evo, uzmimo da je skup [inlmath]X[/inlmath] u stvari skup celih brojeva [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]. Neka su naše funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] definisane sa [inlmath]f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[/inlmath].

Uzmimo primer - neka su:
[dispmath]f\colon n\mapsto2n[/dispmath][dispmath]g\colon n\mapsto\begin{cases}
n/2, & \text{ako je }n\text{ parno}; \\
0, & \text{ako je }n\text{ neparno}.
\end{cases}[/dispmath] Dakle, u ovom primeru očigledno je da funkcija [inlmath]f[/inlmath] nije surjektivna (kodomen čine samo parni celi brojevi), međutim [inlmath]g\circ f[/inlmath] jeste surjekcija, jer važi:
[dispmath](g\circ f)(n)=g\bigl(f(n)\bigr)=g(2n)=2n/2=n[/dispmath] Primetimo da je zapravo [inlmath]g\circ f[/inlmath] "ispalo" identičko preslikavanje. Pokazaću još jedan primer - neka su:
[dispmath]f\colon x\mapsto\begin{cases}
x+5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath][dispmath]g\colon x\mapsto\begin{cases}
x-5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath] Ovde opet imamo primer da [inlmath]f[/inlmath] nije surjekcija (uzmimo samo elemente [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] koji nisu u kodomenu, jer njih ne možemo dobiti preslikavanjem [inlmath]f(x)[/inlmath]), ali zato ako proverimo, kompozicija [inlmath]g\circ f[/inlmath] jeste surjekcija u oba slučaja funkcije [inlmath]f[/inlmath]:
[dispmath]x\ge0:\quad(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(x+5)=x+5-5=x[/dispmath][dispmath]x<0:\quad(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(x)=x[/dispmath] Još jednom se izvinjavam zbog greške u prethodnom postu i nadam se da sam ovaj put ispravno rezonovao :aureola:
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Kompozicija funkcija

Postod Vv123 » Petak, 15. Februar 2019, 12:52

Da li bi to moglo nekako slikom da se predstavi - slucaj u kome je [inlmath]g\circ f[/inlmath] "na", a [inlmath]f[/inlmath] nije. Pokusavam, ali slika biva ista kao ona gore. Opet je zakljucak da [inlmath]g[/inlmath] mora biti "na". Ali kako da [inlmath]g[/inlmath] bude "na" kada [inlmath]f[/inlmath] nije.
Inace, da li je moguce ovakve tipove zadataka resavati samo uz pomoc slike, ili se moraju nalaziti neki kontraprimeri?
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Kompozicija funkcija

Postod Jovan111 » Petak, 15. Februar 2019, 14:56

Malo je teže naći kontraprimer na konačnom skupu za dato tvrđenje (čak mislim da je i nemoguće).

Jovan111 je napisao:Pokazaću još jedan primer - neka su:
[dispmath]f\colon x\mapsto\begin{cases}
x+5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath][dispmath]g\colon x\mapsto\begin{cases}
x-5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath] Ovde opet imamo primer da [inlmath]f[/inlmath] nije surjekcija (uzmimo samo elemente 1, 2, 3, 4 koji nisu u kodomenu, jer njih ne možemo dobiti preslikavanjem [inlmath]f(x)[/inlmath]), ...

U ovom primeru se sve vidi. Ako želiš pokušaj i "slikom" da predstaviš ovo što ću sada reći. Po meni moramo uzeti beskonačan skup da bismo ovo dokazali (ja ne mogu da se setim nekog primera sa konačnim skupom) kakav je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] na kom su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] bile definisane u našem primeru.

[inlmath]1^\circ[/inlmath] slučaj
U slučaju kada uzmemo [inlmath]x\ge0[/inlmath], to jest [inlmath]x\in\{0,1,2,3,\ldots\}[/inlmath] tada se [inlmath]f[/inlmath] slika u [inlmath]x+5[/inlmath], tj. [inlmath]\{5,6,7,\ldots\}[/inlmath]. Tada funkcija [inlmath]g[/inlmath] uzima za svoj domen kodomen funkcije [inlmath]f[/inlmath] (to moraš znati), tj. skup [inlmath]\{5,6,7,\ldots\}[/inlmath] i pošto su ti brojevi [inlmath]x\ge0[/inlmath], onda ih slika u [inlmath]x-5[/inlmath], to jest [inlmath]\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath].
[dispmath]f\colon\{0,1,2,3,\ldots\}\to\{5,6,7,8,\ldots\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{0,1,2,3,\ldots\}\to\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/dispmath] [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučaj
Kada je [inlmath]x<0[/inlmath], to jest [inlmath]x\in\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath] onda se [inlmath]f[/inlmath] slika u [inlmath]x[/inlmath], tj. [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath]. Tada je [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath] ujedno domen funkcije [inlmath]g[/inlmath] koja se slika (pošto su u domenu negativni brojevi) u [inlmath]x[/inlmath], odnosno [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath].
[dispmath]f\colon\{\ldots,-3,-2,-1\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{\ldots,-3,-2,-1\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}[/dispmath] Primetimo kako funkcija [inlmath]f[/inlmath] nije imala u svom kodomenu brojeve [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath] za slike, ali je ipak kompozicija imala svaki broj iz [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] za sliku. Na kraju, ako zamisliš sliku za oba slučaja zaista možeš doći do zaključka (kada spojimo oba slučaja) da [inlmath]f[/inlmath] nije "na", ali kompozicija [inlmath]g\circ f[/inlmath] jeste.
[dispmath]f\colon\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}\cup\{5,6,7,8,\ldots\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\to\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}[/dispmath]
Vv123 je napisao:Inace, da li je moguce ovakve tipove zadataka resavati samo uz pomoc slike, ili se moraju nalaziti neki kontraprimeri?

Sve zavisi od tvog predmetnog profesora. Inače ne bi bilo priznato. Slika ti samo pomaže da stekneš vizelnu predstavu zašto je nešto takvo, a dokaz se obično zahteva da se izvede iz formalnih definicija.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Kompozicija funkcija

Postod Vv123 » Petak, 15. Februar 2019, 17:53

Hvala, sad mi je puno jasnije. :) Jedino mi je bilo teze da shvatim kako se mogu definisati ove dve funkcije tako da domen funkcije [inlmath]g[/inlmath] (kodomen funkcije [inlmath]f[/inlmath]) ne mora biti ceo skup [inlmath]X[/inlmath].
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs