Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Jovan111 » Sreda, 20. Februar 2019, 14:42

Prijemni ispit ETF - 25. jun 2018.
15. zadatak


Data je funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha\in\mathbb{R}[/inlmath]. Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] takvih da funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima bar jednu realnu nulu i za koje važi [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] za svako [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Tada je skup [inlmath]S[/inlmath] jednak:

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right]}[/inlmath]


Kvadratna funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath] je konveksna i imaće bar jednu realnu nulu ako je diskriminanta ove kvadratne funkcije veća ili jednaka nuli:
[dispmath]D=(-2\alpha)^2-4\cdot\left(\alpha^2+2\alpha-8\right)\ge0[/dispmath][dispmath]32-8\alpha\ge0\iff\alpha\le4[/dispmath] Ako je funkcija [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] u ekstremnim tačkama intervala [inlmath]x\in[0,3][/inlmath] i ako se minimum funkcije ne nalazi u ovom intervalu, onda će vrednost funkcije biti veća ili jednaka nuli na čitavom intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath].
[dispmath]f(0)\ge0:\enspace\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/dispmath][dispmath]f(3)\ge0:\enspace9-6\alpha+\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha^2-4\alpha+1\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,2-\sqrt3\right]\cup\left[2+\sqrt3,+\infty\right)[/dispmath] Uzimajući u obzir prethodna tri intervala za [inlmath]\alpha[/inlmath], nalaženjem njihovog preseka konačno imamo: [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], što je i interval u rešenju, međutim kako je jedan od ponuđenih odgovora bio da "nijedan od ponuđenih odgovora" nije tačan, moramo proveriti i poslednji uslov (koji smo pomenuli), a to je da se minimum funkcije ne sme nalaziti u intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Minimum funkcije se dobija u tački [inlmath]x_0[/inlmath] za koju je [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath].
[dispmath]f'(x)=2x-2\alpha[/dispmath][dispmath]f'(x_0)=0\iff2x_0-2\alpha=0\iff x_0=\alpha[/dispmath] Kako je [inlmath]x_0=\alpha\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to jest [inlmath]x_0=\alpha\le-4\;\lor\;x_0=\alpha\in\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to se tačka [inlmath]x_0[/inlmath] ne nalazi u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath], te je funkcija za iznad navedene vrednosti parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] uvek nenegativna.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 52 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Sreda, 20. Februar 2019, 18:19

Drugi način bi bio, pored postavljanja uslova [inlmath]D\ge0[/inlmath], postaviti uslov [inlmath]x_1\ge3\;\lor\;x_2\le0[/inlmath], gde je [inlmath]x_1\le x_2[/inlmath].
Iz [inlmath]x_1\ge3[/inlmath] dobija se [inlmath]\alpha\in[2+\sqrt3,4][/inlmath], a iz [inlmath]x_2\le0[/inlmath] dobija se [inlmath]\alpha\in(-\infty,-4][/inlmath]. Unija ova dva skupa rešenja je [inlmath]\alpha\in(-\infty,-4]\cup[2+\sqrt3,4][/inlmath].
Presek ove unije rešenja s uslovom nenegativnosti diskriminante ([inlmath]a\le4[/inlmath]) biće upravo ta unija rešenja, tj. [inlmath]\alpha\in(-\infty,2-\sqrt3]\cup[2,4][/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7507
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod bobanex » Sreda, 20. Februar 2019, 21:09

Da li je autor ove teme samostalno rešio ovaj zadatak ili ga je od nekoga prepisao?
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 495 puta

  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Jovan111 » Četvrtak, 21. Februar 2019, 00:35

Veći deo zadatka uradio sam samostalno, ali ne u celosti (konkretno ovaj deo u kome nisam obratio pažnju na mimimum funkcije), te sam se konsultovao sa zbirkom koju mi je dao moj profesor, ali ne vidim zašto je to toliko bitno da je vredno diskutovanja o tome; ipak, voljan sam da Vam odgovorim, iako ovo nema veze sa temom ili zadatkom.

Moja ideja je bila da zadatke koje rešavam, a koji mi se učine teškim (pošto se sada pripremam za prijemni ispit, što možda možete pretpostaviti) ili koje ne uspem da rešim u celosti ili delom, a nađem rešenje van foruma (u zbirci, na internetu, od prijatelja, profesora i sl.) podelim sa drugima u želji da njima olakšam da dođu do rešenja (skroz u skladu sa tačkom [inlmath]7[/inlmath]. pravilnika)... Jedino što Vama može zasmetati jeste što sam se trudio pri kucanju rešenja da se držim zbirke zbog doslednosti i terminologije, ali ne vidim da sam time povredio neko pravilo ovog foruma :unsure:
Korisnikov avatar
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 52 puta

  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Petak, 22. Februar 2019, 00:59

@bobanex, nisam ni ja baš razumeo tvoje pitanje, pa ako bi mogao da pojasniš na šta si tačno mislio?

(BTW kad se nekom obraćaš, učtivost nalaže da mu se obraćaš u drugom, a ne u trećem licu.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7507
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3908 puta
Pohvaljen: 4031 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 22. Maj 2019, 07:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs