Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Ispitivanje diferencijabilnosti i neprekidnosti funkcije

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Ispitivanje diferencijabilnosti i neprekidnosti funkcije

Postod naturalhova » Ponedeljak, 25. Mart 2019, 20:19

Pozdrav, naišao sam na zadatak i nisam uveren u tačnost mojeg rešenja:

Neka je [inlmath]f\colon(-\infty,2\pi)\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sin x}{x^2-\pi^2}, & x\in(-\infty,-\pi)\\
\displaystyle\frac{x}{A}+\text{tg}\left(\frac{x}{4}\right), & x\in(-\pi,2\pi)
\end{cases}[/dispmath] a) Ispitati za koje [inlmath]A\in\mathbb{R}[/inlmath] je funkcija [inlmath]f[/inlmath] neprekidna na [inlmath](-\infty,2\pi)[/inlmath].
b) Ispitati za koje [inlmath]A\in\mathbb{R}[/inlmath] funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima prvi izvod na [inlmath](-\infty,2\pi)[/inlmath].

Izracunao sam levi limes preko lopitala i dobio [inlmath]\frac{1}{2\pi}[/inlmath]. Nakon toga resio za desnu stranu i dobio [inlmath]f(-\pi)=\frac{-\pi}{A}-1[/inlmath]. Izjednacavanjem sa levom stranom dobijam da je [inlmath]A=-\frac{2\pi^2}{1+2\pi}[/inlmath], pretpostavio sam da mi je dotle tacno i krenuo sa daljim resavanjem zadatka.

Uradio sam izvod cele funkcije i dobio:
[dispmath]f'(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\cos x\left(x^2-\pi^2\right)-2x\sin x}{x^2-\pi^2}, & x\in(-\infty,-\pi)\\
\displaystyle\frac{1}{A}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)}, & x\in(-\pi,2\pi)
\end{cases}[/dispmath] Ovo mi je bilo cudno jer iako ce mi desni limes dati [inlmath]\frac{1}{A}+\frac{1}{2}[/inlmath], sa leve strane uvrstavanjem [inlmath]\pi[/inlmath] u funkciju dobijam [inlmath]0^2[/inlmath] ispod razlomacke crte. Probao sam i preko formule za [inlmath]\Delta x[/inlmath] ali opet ispod razlomacke dobijam [inlmath]0[/inlmath]. Nisam siguran da li ne postoji [inlmath]A[/inlmath] u kojem funkcija ima prvi izvod ili ja negde gresim?
 
Postovi: 3
Lokacija: Srbija
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti i neprekidnosti funkcije

Postod Daniel » Sreda, 27. Mart 2019, 21:27

naturalhova je napisao:sa leve strane uvrstavanjem [inlmath]\pi[/inlmath] u funkciju dobijam [inlmath]0^2[/inlmath] ispod razlomacke crte.

Samo par ispravki pre nego što odgovorim na pitanje. Uvrštava se [inlmath]-\pi[/inlmath]. Druga stvar, izvod funkcije u intervalu [inlmath](-\infty,-\pi)[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{\left(x^2-\pi^2\right)\cos x-2x\sin x}{\left(x^2-\pi^2\right)^{\color{red}2}}[/inlmath], dakle, s kvadratom u imeniocu (pretpostavljam da si tako i dobio samo da si pogrešio u kucanju, budući da si ispravno napisao da za imenilac dobiješ [inlmath]0^2[/inlmath]).

Da, uvrštavanjem [inlmath]-\pi[/inlmath] zaista se za interval [inlmath](-\infty,-\pi)[/inlmath] dobija nula ispod razlomačke crte, ali se dobija nula i iznad razlomačke crte, a to onda predstavlja neodređenu vrednost. A kad imamo limes tipa [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], znamo koju tehniku možemo primeniti da bismo taj limes izračunali, zar ne?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7487
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3901 puta
Pohvaljen: 4015 puta

  • +1

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti i neprekidnosti funkcije

Postod naturalhova » Sreda, 03. April 2019, 16:11

Uopšte nisam razmišljao o upotrebi Lopitala ovde, što je moja greška jer se često javlja u zadacima ovog tipa. Ispravke su vam skroz korektne. Primenom Lopitala na izvod funkcije dobijamo:
[dispmath]\lim_{x\to\ -\pi^-}-\frac{\sin x\left(2+x^2-\pi^2\right)}{4x\left(x^2-\pi^2\right)}[/dispmath] Što je ponovo neodređen izraz pa sam ponovo primenio Lopitala i dobio:
[dispmath]\frac{1}{4\pi^2}[/dispmath] Izjednačavanjem sa desnom stranom tj. [inlmath]\frac{1}{A}+\frac{1}{2}[/inlmath] dobijam da je [inlmath]A=\frac{4\pi^2}{1-2\pi^2}[/inlmath]. Hvala vam puno.

PS Čestitam na 4000 pohvala. :)
 
Postovi: 3
Lokacija: Srbija
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti i neprekidnosti funkcije

Postod Daniel » Četvrtak, 04. April 2019, 22:42

Da, to je tačan rezultat. :correct: Preporučljivo je, samo, da umesto [inlmath]\cos x\left(x^2-\pi^2\right)[/inlmath] pišeš [inlmath]\left(x^2-\pi^2\right)\cos x[/inlmath] jer bi po ovom prvom zapisu moglo izgledati kao da se [inlmath]\left(x^2-\pi^2\right)[/inlmath] nalazi unutar argumenta kosinusa. Iz istog razloga bolje je i [inlmath]\left(2+x^2-\pi^2\right)\sin x[/inlmath] nego [inlmath]\sin x\left(2+x^2-\pi^2\right)[/inlmath].

naturalhova je napisao:PS Čestitam na 4000 pohvala. :)

Hvala. :) I, ako može, bez persiranja (ovo se odnosi i na sve članove foruma).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7487
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3901 puta
Pohvaljen: 4015 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 22. April 2019, 14:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs