Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Oblast vrednosti funkcije

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Oblast vrednosti funkcije

Postod Frank » Sreda, 23. Septembar 2020, 23:11

Zdravo svima! Zadatak glasi:
Odrediti oblast vrednosti funkcije [inlmath]\;\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]f(x)\le-2\;\lor\;f(x)\ge2[/inlmath].
Zadaci ovog tipa se vrlo lako rešavaju šablonski na sledeći način:
[dispmath]y=f(x)=x+\frac{1}{x}\\
y=\frac{x^2+1}{x}\;/\cdot x\\
x^2-xy+1=0\\
D=b^2-4ac\ge0\\
y^2-4\ge0\;\Longrightarrow\;y\le-2\;\lor\;y\ge2[/dispmath] Nije mi jasno kako nigde nismo uzeli u obzir da za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana, tj. kako smo sigurni da će kodomen date funkcije biti jednak onim vrednostima [inlmath]y[/inlmath]-a za koje su rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2-xy+1=0[/inlmath] realna. Da li postoji neki razlog zašto je to tako?
Nijedan drugi pristup zadatku (osim ovog šablona) mi nije poznat. Zaista bih voleo da znam još neki način (koji se ne zasniva na šablonu) pristupanja ovom tipu zadtaka.
Pretpostavljam da se zadatak može uraditi i preko izvoda, no nisam još uvek stigao do njih. Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 335
Zahvalio se: 169 puta
Pohvaljen: 198 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Oblast vrednosti funkcije

Postod Srdjan01 » Petak, 25. Septembar 2020, 09:50

Za [inlmath]x>0[/inlmath] imamo:
[dispmath]\lim_{x\to0^+}f(x)=\infty\quad\lim_{x\to\infty }f(x)=\infty[/dispmath] Preuređivanjem nejednakosti, za [inlmath]x=1[/inlmath] možemo vidjeti
[dispmath]f(x)=x+\frac1x=1\cdot x+1\cdot\frac1x\ge x\cdot\frac1x+1\cdot1=2[/dispmath] Stoga za [inlmath]x>0[/inlmath], [inlmath]f(x)[/inlmath] ima pozitivan minimum koji je jednak [inlmath]2[/inlmath] i njegov opseg je [inlmath][2,+\infty)[/inlmath].
Konačno, s obzirom da je funkcija neparna i nije definisana za [inlmath]x=0[/inlmath], možemo zaključiti da je njen opseg [inlmath](-\infty,-2]\cup[2,+\infty)[/inlmath].
Korisnikov avatar
 
Postovi: 74
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 49 puta

  • +1

Re: Oblast vrednosti funkcije

Postod Daniel » Petak, 09. Oktobar 2020, 19:17

Frank je napisao:Nije mi jasno kako nigde nismo uzeli u obzir da za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana, tj. kako smo sigurni da će kodomen date funkcije biti jednak onim vrednostima [inlmath]y[/inlmath]-a za koje su rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2-xy+1=0[/inlmath] realna. Da li postoji neki razlog zašto je to tako?

Da smo jednačinu rešavali po [inlmath]x[/inlmath], tada bismo morali postaviti uslov definisanosti po [inlmath]x[/inlmath]. Međutim, ovde nismo imali rešavanje jednačine po [inlmath]x[/inlmath], već smo određivali kom opsegu mora pripadati [inlmath]y[/inlmath] da bi postojalo [inlmath]x[/inlmath] koje se preslikava u tu vrednost [inlmath]y[/inlmath].

Srdjan01 je napisao:[dispmath]1\cdot x+1\cdot\frac1x\ge x\cdot\frac1x+1\cdot1[/dispmath]

Može li objašnjenje za ovu nejednakost?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 08:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs