Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Petak, 05. Septembar 2014, 20:06

Pomoću uvjetnih ekstrema odredite maksimalan volumen pravilne četverostrane piramide koja je upisana u kugli radijusa [inlmath]R[/inlmath].

- Uvjetni ekstrem funkcije [inlmath]z=f(x,y)[/inlmath] je max ili min te funkcije koji zadovoljava uvjet [inlmath]\rho(x,y)=0[/inlmath]. Postupak za određivanje uvjetnog ekstrema u zadacima ovakvog tipa je sljedeći:
Formirati tzv. Lagrangeovu funkciju [inlmath]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\cdot\rho(x,y)[/inlmath]. Ovo je ujedno po meni i najteži dio zadatka, tj. najčešće se radi greška pri određivanju [inlmath]\rho(x,y)[/inlmath].
Potom se određuju parcijalne derivacije [inlmath]\frac{\partial L}{\partial x}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial y}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial\lambda}[/inlmath]. Dalje se ide ka dobivanju potrebnih nepoznanica iz jednadžbi. Kada sve nepoznanice postanu poznate, konačno rješenje uvrsti se u traženi volumen.

U ovom slučaju, naš [inlmath]f(x,y)[/inlmath] tj. [inlmath]z[/inlmath] je [inlmath]V=\frac{a^2\cdot h}{3}[/inlmath] i time smo dobili jedan od potrebna dva "dijela" Lagrangeove funkcije koju je na početku zadatka potrebno formirati. Problem mi u ovom slučaju predstavlja drugi dio te funkcije tj. ono što množi [inlmath]\lambda[/inlmath], a to je [inlmath]\rho[/inlmath]. Kako ga pravilno odrediti u zadacima ovakvog tipa i konkretno u ovom primjeru? Imao sam različite varijante ovih zadataka, npr. odrediti volumen stošca upisanog u kuglu i sl. i uvijek se javi isti problem. Kada se formira Lagrange, onda zadatak ide u većini slučajeva glatko. :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod Daniel » Nedelja, 07. Septembar 2014, 20:22

piramida.png
piramida.png (2.45 KiB) Pogledano 1139 puta

Na osnovu slike levo,
[dispmath]\left(\frac{d}{2}\right)^2=R^2-\left|h-R\right|^2=2Rh-h^2[/dispmath]
a na osnovu slike desno (osnova piramide),
[dispmath]a^2=2\left(\frac{d}{2}\right)^2\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{a^2}{2}[/dispmath]
Izjdnačavanjem desnih strana prethodnih dveju jednačina,
[dispmath]\frac{a^2}{2}=2Rh-h^2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{4Rh-2h^2}[/dispmath]
Označimo [inlmath]h[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]a[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]\rho\left(x,y\right)=\sqrt{4Rx-2x^2}-y=0[/dispmath]
i dobijamo Lagranžovu funkciju koja glasi
[dispmath]L\left(x,y,\lambda\right)=f\left(x,y\right)+\lambda\rho\left(x,y\right)=\frac{xy^2}{3}+\lambda\left(\sqrt{4Rx-2x^2}-y\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Nedelja, 07. Septembar 2014, 22:33

Hvala. U Lagranžovoj funkciji nisam stavljao korjen zbog jednostavnijeg parcijalnog deriviranja.

Uglavnom, dobio sam da je [inlmath]h=\frac{3R}{2}[/inlmath] (dva puta prekontrolirao, nisam našao grešku :| )

dalje je jednostavno...
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod Daniel » Nedelja, 07. Septembar 2014, 22:34

Hm, ja dobijem [inlmath]h=\frac{4R}{3}[/inlmath]. I kad radim ovako, i kad radim preko izvoda. :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Nedelja, 07. Septembar 2014, 22:37

Provjeriću ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Ponedeljak, 15. Septembar 2014, 14:51

Treba mi pomoć za još dva ovakva zadatka (Lagrange tj. kako doći do "[inlmath]\phi[/inlmath]" dijela formule). :)

[inlmath]1)[/inlmath] Odredite pomoću uvjetnog ekstrema maksimalnu površinu pravokutnika koji se može upisati u jednakokračni trokut baze [inlmath]a[/inlmath] i visine [inlmath]v[/inlmath].
[inlmath]2)[/inlmath] Odredite pomoću uvjetnog ekstrema maksimalan volumen pravilne četverostrane prizme koja se može upisati u pravilnu četverostranu piramidu sa bazom stranice [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath] te visinom [inlmath]1[/inlmath].
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Septembar 2014, 16:39

Za [inlmath]1)[/inlmath] pogledaj ovu i ovu temu.

Da bi uradio pod [inlmath]2)[/inlmath], možeš uočiti to da će presek piramide i u njoj upisane prizme biti isti kao i crtež pod [inlmath]1)[/inlmath], tako da će i postupak nalaženja veze između visine i stranice biti isti kao i pod [inlmath]1)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Sreda, 17. Septembar 2014, 11:05

Za [inlmath]1)[/inlmath] to bi bilo:
[dispmath]f(x,y)=xy\\
\rho=-\frac{a}{v}x^2+ax[/dispmath]
?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod Daniel » Četvrtak, 18. Septembar 2014, 16:28

[inlmath]f\left(x,y\right)[/inlmath] ti je u redu, ali [inlmath]\rho\left(x,y\right)[/inlmath] ne valja. Nigde ti nema [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]\rho\left(x,y\right)[/inlmath] upravo treba da dâ vezu između [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. A i ne znam kako si došao do tog kvadrata promenljive [inlmath]x[/inlmath]?

Izgleda da si, umesto izraza za [inlmath]\rho[/inlmath], napisao izraz za površinu pravougaonika u zavisnosti od njegove stranice [inlmath]x[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

Re: Uvjetni ekstremi i Lagrangeova funkcija

Postod eseper » Petak, 19. Septembar 2014, 16:38

Kako onda treba biti? :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sledeća

Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 07:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs