Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gosha » Ponedeljak, 01. Decembar 2014, 23:55

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
14. zadatak


Ako je [inlmath]\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/inlmath], onda je [inlmath]\displaystyle f\Biggl(f\left(\frac{1}{2}\right)\Biggr)[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]-2[/inlmath].

Muci me ovaj zadatak vec dugo i nikako da skontam rjesenje...
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gamma » Utorak, 02. Decembar 2014, 01:05

Prvo treba da nađeš [inlmath]f(x)[/inlmath] onda ti je ostalo sve lako.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +2

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod ubavic » Utorak, 02. Decembar 2014, 10:04

Prvo izračunamo [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right )=x[/inlmath], pa ćemo izjednačiti [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath].
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]2(x-1)=x+1\\
x=3[/dispmath] Dakle, [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=3[/inlmath]. Istom logikom sada računamo vrednost [inlmath]f(3)[/inlmath].
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=3[/dispmath][dispmath]x-1=3(x+1)\\
-4=2x\\
x=-2[/dispmath] Dakle, [inlmath]f\bigg(f\left(\frac{1}{2}\right)\bigg)=-2[/inlmath]
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gosha » Utorak, 02. Decembar 2014, 10:13

Hvala mnogo na zadatku. Ovo mi izgleda lagano za raditi ali nas u srednjoj ne uce bas mnogo :P
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Daniel » Utorak, 02. Decembar 2014, 11:59

Pokazao bih i drugi način, a to je da prvo iz [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/inlmath] nađeš funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath], pa onda samo u nju uvrstiš [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], a nakon toga uvrstiš i [inlmath]x=f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Radi nalaženja funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath], prvo i levu i desnu stranu stavimo pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] (inverzna funkcija od [inlmath]f(x)[/inlmath]):
[dispmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x\quad\left/f^{-1}(x)\right.[/dispmath][dispmath]f^{-1}\circ f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=f^{-1}(x)[/dispmath] [inlmath]f^{-1}[/inlmath] i [inlmath]f[/inlmath] se, kao dve međusobno inverzne funkcije, poništavaju:
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=f^{-1}(x)[/dispmath] I sada ovu jednačinu rešavamo po [inlmath]x[/inlmath], nakon čega ćemo dobiti
[dispmath]x=\frac{1+f^{-1}(x)}{1-f^{-1}(x)}[/dispmath] što, ako sada [inlmath]x[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]f(x)[/inlmath], daje:
[dispmath]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/dispmath] I, sada kad znaš izraz za [inlmath]f(x)[/inlmath], lako nađeš i da je [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=3[/inlmath], a odatle i da je [inlmath]f\bigg(f\left(\frac{1}{2}\right)\bigg)=f(3)=-2[/inlmath].

Biraj koji ti se od ova dva priložena načina čini zgodnijim – sasvim je svejedno. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gosha » Utorak, 02. Decembar 2014, 12:42

Usvojicu oba (znanja nikad dosta), i hvala obojici :)
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gamma » Utorak, 02. Decembar 2014, 21:06

Daniele evo pogledao sam ovaj tvoj način rješavanja meni i nije baš jasan. Ovde kod stavljanja ove funkcije pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] mi nije jasno ništa. A pogotovo kako se ove dvije funkcije poništavaju.To bi trebalo da ide preko kompozicije funkcije koliko ja znam. Ja sam zadatak radio na veoma sličan način tvome ako ne i na isti način. Ali ovaj tvoj je potpuniji i ima neko objašnjenje dok su nas u školi učili ovako:
[dispmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/dispmath][dispmath]\frac{x-1}{x+1}=t[/dispmath][dispmath]x-1=t(x+1)[/dispmath][dispmath]x-1=tx+t[/dispmath][dispmath]x-tx=1+t[/dispmath][dispmath]x(1-t)=1+t[/dispmath][dispmath]x=\frac{1+t}{1-t}[/dispmath][dispmath]f(t)=\frac{1+t}{1-t}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{f(x)=\frac{1+x}{1-x}}[/dispmath] Ovo je taj način na koji sam ja radio zadatak koji i meni nije baš najjasniji svodi se na istu foru kao kod tebe. I pitanje je kakve veze ima ova dobijena funkcija sa prvobitnom funkcijom? Da li je to inverzna funkcija? Ja mislim da nije mada čini mi se da sam negdje pročitavo ne znam ni ja gdje da je to inverzna funkcija. I zapravo kako se traži inverzna funkcija od funkcija zadatih u ovakvom tipu? Ja kada tražim inverznu samo zamjenem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a ovde to ne mogu tako da uradim.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Daniel » Sreda, 03. Decembar 2014, 14:37

Gamma je napisao:Ovde kod stavljanja ove funkcije pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] mi nije jasno ništa. A pogotovo kako se ove dvije funkcije poništavaju.To bi trebalo da ide preko kompozicije funkcije koliko ja znam.

Pa i ide preko kompozicije funkcije, napisao sam
[dispmath]f^{-1}\circ f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=f^{-1}(x)[/dispmath] A poništavaju se, jer, upravo prema definiciji inverzne funkcije, važi
[dispmath]f\circ f^{-1}(x)=f^{-1}\circ f(x)=x[/dispmath]
Gamma je napisao:Ja sam zadatak radio na veoma sličan način tvome ako ne i na isti način.

Tvoj način ima dosta sličnosti s načinom na koji sam ja radio, samo što sam ja koristio inverznu funkciju a ti si koristio smenu. U principu, isto. Mada je tvoj način svakako razumljiviji onome ko se nije ranije susretao s inverznim funkcijama. U svakom slučaju, dobro je što imamo i treći način rešavanja ovog zadatka. :)

Gamma je napisao:I pitanje je kakve veze ima ova dobijena funkcija sa prvobitnom funkcijom? Da li je to inverzna funkcija? Ja mislim da nije mada čini mi se da sam negdje pročitavo ne znam ni ja gdje da je to inverzna funkcija.

Ako misliš na funkciju koju si na kraju dobio, [inlmath]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/inlmath], to nije inverzna funkcija početne funkcije [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)[/inlmath], to je ista ta funkcija, samo što joj je argument promenjen.

Gamma je napisao:I zapravo kako se traži inverzna funkcija od funkcija zadatih u ovakvom tipu? Ja kada tražim inverznu samo zamjenem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a ovde to ne mogu tako da uradim.

Mi ovde već znamo inverznu funkciju, napisao sam njen izraz u koraku [inlmath]\frac{x-1}{x+1}=f^{-1}(x)[/inlmath], a da bismo iz nje odredili originalnu funkciju, rešavamo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], kao što sam i učinio u svom postupku. E, u tom koraku možeš, ako ti je tako razumljivije, da [inlmath]x[/inlmath] zameniš sa [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] zameniš sa [inlmath]x[/inlmath], tako da onda taj izraz postaje [inlmath]\frac{y-1}{y+1}=x[/inlmath] i odatle nađeš izraz za [inlmath]y[/inlmath], a to je funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] koju tražimo...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod Gamma » Sreda, 03. Decembar 2014, 21:19

Jedino što me zbunjuje je ta definijica preko koje se poništava. Postoji li neki uopšten dokaz za tu definiciju? Meni nekako nije logična a možda i jeste samo ne vidim.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Funkcija f(f(1/2)) – prijemni GRF 2013.

Postod ubavic » Sreda, 03. Decembar 2014, 22:58

Ne postoji. Definicije se ne dokazuju, za razliku od teorema. Definicijom dodeljujemo određena svojstva nekim matematičkim objektima. Ono što možemo dokazati su druga svojstva koja slede iz same definicije...
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Sledeća

Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs