Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 4. razred – 2010. god.
U pitanju je jedan zadatak sa takmičenja naravno malo teži koji mi se ne da skontati nikako.Imam i rješenje samo mi treba neko da ga rastumači.Sigurno ima stvari u rješenju koje su preskočene jer uvijek oni malo toga preskoče.
Funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana je na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i za svaki [inlmath]x,y\in\mathbb{Z}[/inlmath] vrijedi [inlmath]f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1[/inlmath], pri čemu je [inlmath]f(1)=2[/inlmath]. Odrediti [inlmath]f(z)[/inlmath] za svaki cijeli broj [inlmath]z[/inlmath].
Rješenje:
1. Iz [inlmath]f(1z)=f(1)f(z)-f(1+z)+1[/inlmath] slijedi [inlmath]f(z)=2f(z)-f(z+1)+1[/inlmath], tj [inlmath]f(z+1)=f(z)+1\ldots[/inlmath](*).
2. [inlmath]f(2)=f(1)+1=3,\;f(3)=4,\;f(4)=5,\ldots[/inlmath]
3. Matematičkom indunkcijom dokažemo da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath] za svaki prirodan broj [inlmath]z[/inlmath].
4. Za [inlmath]z=0[/inlmath] imamo na osnovu (1) da je [inlmath]f(0)=f\big(1+(-1)\big)=f(1)-1=1[/inlmath]
5. Iz (*) za [inlmath]z=-1[/inlmath] dobijamo [inlmath]f(0)=f(-1)+1[/inlmath], tj.[inlmath]f(-1)=f(0)-1=0[/inlmath]
6. Za proizvoljan prirodni broj [inlmath]z[/inlmath] vrijedi: [inlmath]f(z-1)=f\big((-1)(-z+1)\big)=f(-1)f(-z+1)-f(-z)+1=-f(-z)+1[/inlmath]
7. Iz 6 i [inlmath]f(z-1)=z[/inlmath] slijedi [inlmath]f(-z)=-f(z-1)+1=-z+1[/inlmath] tj.formula vrijedi i za negativne cijle brojeve.
8. Na osnovu 3,4,5 i 7 zaključujemo da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath] za svaki cijeli broj [inlmath]z[/inlmath].