Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Odrediti f(z)

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Odrediti f(z)

Postod Gamma » Sreda, 14. Januar 2015, 22:44

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 4. razred – 2010. god.

U pitanju je jedan zadatak sa takmičenja naravno malo teži koji mi se ne da skontati nikako.Imam i rješenje samo mi treba neko da ga rastumači.Sigurno ima stvari u rješenju koje su preskočene jer uvijek oni malo toga preskoče.

Funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana je na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i za svaki [inlmath]x,y\in\mathbb{Z}[/inlmath] vrijedi [inlmath]f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1[/inlmath], pri čemu je [inlmath]f(1)=2[/inlmath]. Odrediti [inlmath]f(z)[/inlmath] za svaki cijeli broj [inlmath]z[/inlmath].

Rješenje:
1. Iz [inlmath]f(1z)=f(1)f(z)-f(1+z)+1[/inlmath] slijedi [inlmath]f(z)=2f(z)-f(z+1)+1[/inlmath], tj [inlmath]f(z+1)=f(z)+1\ldots[/inlmath](*).
2. [inlmath]f(2)=f(1)+1=3,\;f(3)=4,\;f(4)=5,\ldots[/inlmath]
3. Matematičkom indunkcijom dokažemo da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath] za svaki prirodan broj [inlmath]z[/inlmath].
4. Za [inlmath]z=0[/inlmath] imamo na osnovu (1) da je [inlmath]f(0)=f\big(1+(-1)\big)=f(1)-1=1[/inlmath]
5. Iz (*) za [inlmath]z=-1[/inlmath] dobijamo [inlmath]f(0)=f(-1)+1[/inlmath], tj.[inlmath]f(-1)=f(0)-1=0[/inlmath]
6. Za proizvoljan prirodni broj [inlmath]z[/inlmath] vrijedi: [inlmath]f(z-1)=f\big((-1)(-z+1)\big)=f(-1)f(-z+1)-f(-z)+1=-f(-z)+1[/inlmath]
7. Iz 6 i [inlmath]f(z-1)=z[/inlmath] slijedi [inlmath]f(-z)=-f(z-1)+1=-z+1[/inlmath] tj.formula vrijedi i za negativne cijle brojeve.
8. Na osnovu 3,4,5 i 7 zaključujemo da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath] za svaki cijeli broj [inlmath]z[/inlmath].
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti f(z)

Postod Daniel » Petak, 16. Januar 2015, 00:18

Koliko vidim, njihovo objašnjenje je sasvim detaljno i razumljivo, ne primećujem da su bilo šta preskočili. Kad bih ja pisao objašnjenje, i ja bih ga vrlo slično napisao.

Jedino mislim da su nepotrebno zakomplikovali pod 4) (njihovo objašnjenje nisam ni ja skontao), to su mogli lepo da napišu ovako:
4. Pošto iz (1) sledi da je [inlmath]f\left(z\right)=f\left(z+1\right)-1[/inlmath], uvrštavanjem [inlmath]z=0[/inlmath] dobijamo: [inlmath]f\left(0\right)=f\left(0+1\right)-1=2-1=1[/inlmath]

I pod 7) bi valjalo objasniti da su [inlmath]f(z-1)=z[/inlmath] (gde je [inlmath]z[/inlmath] prirodan broj) dobili uvrštavanjem [inlmath]z-1[/inlmath] umesto [inlmath]z[/inlmath] u [inlmath]f\left(z\right)=z+1[/inlmath] (što je pokazano pod 3), kao i na osnovu [inlmath]f\left(0\right)=1[/inlmath] (što je pokazano pod 4).

Da li su te ove dve stvari bunile?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti f(z)

Postod Gamma » Petak, 16. Januar 2015, 01:52

Dobro i to pod 4 mi nije jasno.Ali ima i ostalih stavri koje me još zbunjuju.
...(*) šta ovo znači ? Nikada se nisam susreo s ovim znakom.
Na kraju prvog dijela dobije se [inlmath]f(z+1)=f(z)+1[/inlmath] to nije prvobitni oblik tražene funkcije koliko ja vidim u zadatku se traži [inlmath]f(z)[/inlmath] a to je [inlmath]f(z)=f(1+z)-1[/inlmath]
Problem je kod ovde indukcije ne znam kako da indukcijom dokažem da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath].Što se tiče indukcije sve što sam radio bilo je dokazivanje nizova i oni tvrdnji tipa je li nešto djeljivo sa nečim. Ne znam kako se indukcije primjenjuje kod funkcija. Predpostavljam da ide na onu istu foru [inlmath]n=n+1[/inlmath].
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Odrediti f(z)

Postod Daniel » Petak, 16. Januar 2015, 11:31

Gamma je napisao:...(*) šta ovo znači ? Nikada se nisam susreo s ovim znakom.

Taj znak nema veze s matematikom. :) Više je, kao neka fusnota. Pošto je napisan pored jednakosti [inlmath]\left(z+1\right)=f\left(z\right)+1[/inlmath], tj. odnosi se na tu jednakost, onda kad u koraku 5) napišu „Iz (*) za [inlmath]z=-1[/inlmath] dobijamo...“ to je isto kao da su rekli „Iz [inlmath]f\left(z+1\right)=f\left(z\right)+1[/inlmath] za [inlmath]z=-1[/inlmath] dobijamo...“

Gamma je napisao:Na kraju prvog dijela dobije se [inlmath]f(z+1)=f(z)+1[/inlmath] to nije prvobitni oblik tražene funkcije koliko ja vidim u zadatku se traži [inlmath]f(z)[/inlmath] a to je [inlmath]f(z)=f(1+z)-1[/inlmath]

U zadatku se traži [inlmath]f\left(z\right)[/inlmath], ali da bismo mogli da dođemo do konačnog oblika te funkcije, moramo prvo proći kroz te međukorake, logično?
Konačni oblik funkcije [inlmath]f\left(z\right)[/inlmath] dobijaš na kraju 8. koraka.
Ako sam dobro razumeo šta želiš da pitaš.

Gamma je napisao:Problem je kod ovde indukcije ne znam kako da indukcijom dokažem da je [inlmath]f(z)=z+1[/inlmath].Što se tiče indukcije sve što sam radio bilo je dokazivanje nizova i oni tvrdnji tipa je li nešto djeljivo sa nečim. Ne znam kako se indukcije primjenjuje kod funkcija. Predpostavljam da ide na onu istu foru [inlmath]n=n+1[/inlmath].

[inlmath]1^\circ[/inlmath] baza indukcije: [inlmath]\underline{z=1}[/inlmath]
[dispmath]f\left(1\right)=2[/dispmath]
[inlmath]2^\circ[/inlmath] indukcijska pretpostavka: [inlmath]\underline{z=k}[/inlmath]
[dispmath]f\left(k\right)=k+1[/dispmath]
[inlmath]3^\circ[/inlmath] korak indukcije: [inlmath]\underline{z=k+1}[/inlmath]
Na osnovu one jednakosti obeležene sa (*),
[dispmath]f\left(k+1\right)=f\left(k\right)+1[/dispmath]
na osnovu indukcijske pretpostavke [inlmath]f\left(k\right)=k+1[/inlmath]:
[dispmath]f\left(k+1\right)=\left(k+1\right)+1[/dispmath]
čime je dokazana indukcijska pretpostavka [inlmath]f\left(k\right)=k+1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti f(z)

Postod Gamma » Petak, 16. Januar 2015, 19:12

Konačno uspio sam razjasniti ovaj zadatak :mig2: Ipak najviše me je zbunjivala ta indukcija. Ipak malo je drugačiji način primjene kod funkcija.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 55 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 10:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs