Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Gama i beta funkcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Re: Gama i beta funkcija

Postod Trougao » Četvrtak, 11. Jun 2015, 23:57

Hajde de ispisem jedan dokaz za gausov integral koji sam procitao na internetu. Dolazi od Laplasa ako se ne varam.
[dispmath]I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Posto je funkcija parna mozemo pisati i kao:
[dispmath]I=2\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Sada kvadritamo obe strane:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)^2[/dispmath]
Pa to mozemo zapisati kao:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)[/dispmath]
Kako je sve jedno koja je promenljiva upitanju mozemo u jednom integralu staviti neku drugu:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-y^2}\mathrm dy\right)[/dispmath]
Pa je to isto sto i (da li bi neko mogao da objansi intuitivno ovaj deo):
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\mathrm dy\mathrm dx[/dispmath]
Smena [inlmath]y=xs,\;\mathrm dy=x\mathrm ds[/inlmath]
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+x^2s^2\right)}x\mathrm ds\mathrm dx[/dispmath]
Sada zamenimo diferencijale posto se rezultat ne menja (mislim da ima i neka teorema o redu racunanja dvojnih integrala)
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+x^2s^2\right)}x\mathrm dx\mathrm ds[/dispmath]
Smena: [inlmath]t=-x^2\left(1+s^2\right),\;\mathrm dt=-2x\left(1+s^2\right)[/inlmath]
[dispmath]\int e^{-x^2\left(1+s^2\right)}x\mathrm dx=\Big(t=-x^2\left(1+s^2\right),\;\mathrm dt=-2x\left(1+s^2\right)\mathrm dx\Big)=\\
=\int\frac{e^t}{-2\left(1+s^2\right)}\mathrm dt=\frac{e^t}{-2\left(1+s^2\right)}+C=\frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)}}{-2\left(1+s^2\right)}+C[/dispmath]
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)}}{-2\left(1+s^2\right)}\Biggr|_0^{+\infty}\mathrm ds=4\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{2\left(1+s^2\right)}\mathrm ds=2\mathrm{arctg}(x)\Biggr|_0^{+\infty}=\pi[/dispmath][dispmath]I^2=\pi[/dispmath][dispmath]I=\sqrt{\pi}[/dispmath]
Ovaj dokaz sam trazio zato sto ne znam polarne koordinate(a ni dvojne integrale osim da su zapremina funkijce [inlmath]Z=f(x,y)[/inlmath]) :mrgreen: ) a ovaj integral se obicno resava preko njih i deluje mi elementarno.
Formula:
[dispmath]\Gamma(1-p)\Gamma(p)=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}[/dispmath]
Se zove Ojlerova refleksivna formula i iz nje se nalazi:
[dispmath]p=\frac{1}{2},\;\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}[/dispmath][dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\pi[/dispmath][dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}[/dispmath]
Dokaz za nju ima na ovom linku https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Reflection_Formula. Ja pojma nemam sta tu pise :think1:
Dalje od ovoga nista nemam pojma. :lol:
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Gama i beta funkcija

Postod Sinisa » Petak, 12. Jun 2015, 10:09

desideri je napisao:@Sinisa, ti uvede i negativni argument, tek ti si me zainteresovao :thumbup: .

izgledalo mi je komplikovano da se pamte odredjene vrijednosti gama funkcije, pa sam obrnuo tvoje svojstvo [inlmath]\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)[/inlmath] i sada mogu lako doci do odredjene vrijednosti izrazene preko neke druge koju vec znamo :) (u prethodnom postu sam izrazio [inlmath]\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)[/inlmath] preko [inlmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath])
[dispmath]\Gamma(n)=\frac{1}{n}\Gamma(n+1)[/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 12. Jun 2015, 11:49, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa – \frac umesto kose crte
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 625
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 397 puta

  • +1

Re: Gama i beta funkcija

Postod Daniel » Petak, 12. Jun 2015, 18:11

Na osnovu formule
[dispmath]\Gamma\left(n\right)=\frac{\Gamma\left(n+1\right)}{n}[/dispmath]
moguće je pokazati da gama funkcija nije definisana za nulu i za negativne cele brojeve.

Za [inlmath]n=0[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(0\right)=\frac{\Gamma\left(1\right)}{0}[/inlmath], pa zbog deljenja nulom, [inlmath]\Gamma\left(0\right)[/inlmath] nije definisana.

Za [inlmath]n=-1[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(-1\right)=\frac{\Gamma\left(0\right)}{-1}[/inlmath], tako da ni [inlmath]\Gamma\left(-1\right)[/inlmath] nije definisana, jer u njenom izrazu figuriše [inlmath]\Gamma\left(0\right)[/inlmath], za koju je pokazano da nije definisana.

Za [inlmath]n=-2[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(-2\right)=\frac{\Gamma\left(-1\right)}{-2}[/inlmath], tako da ni [inlmath]\Gamma\left(-2\right)[/inlmath] nije definisana, jer u njenom izrazu figuriše [inlmath]\Gamma\left(-1\right)[/inlmath], za koju je pokazano da nije definisana.

I tako induktivno dalje...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7008
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta

Re: Gama i beta funkcija

Postod desideri » Subota, 13. Jun 2015, 13:55

Daniel,
nema se šta prigovoriti tvom načinu razmišljanja i indukciji koju si pokazao.
Evo u prilog Sinisinom načinu razmišljanja (proširenje definicije):
Izvor: Matematička statistika, Univerzitet u Beogradu, autori: dr Svetozar Vukadinović i dr Jovan Popović, 2004. strana 235.:
Za [inlmath]n<0[/inlmath] gama funkcija jednaka je:
[dispmath]\Gamma\left(n\right)=\frac{\Gamma\left(n+1\right)}{n}[/dispmath]

Sve sam doslovno prekucao. Naglasiše [inlmath]n<0[/inlmath].
Mislim da je ovo zanimljivo.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1516
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1087 puta
Pohvaljen: 836 puta

Re: Gama i beta funkcija

Postod Daniel » Subota, 13. Jun 2015, 18:50

desideri je napisao:Naglasiše [inlmath]n<0[/inlmath].
Mislim da je ovo zanimljivo.

Ajd razumeo bih da su stavili uslov [inlmath]n\notin\mathbb{Z}^-\cup\left\{0\right\}[/inlmath] radi definisanosti. Ali, čemu [inlmath]n<0[/inlmath] kad ova jednakost važi i za sve pozitivne [inlmath]n[/inlmath]? :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7008
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta

Re: Gama i beta funkcija

Postod atp » Sreda, 31. Maj 2017, 22:52

Zanimljiva tema, malo offtopic, mozda je za novu temu cak.
Sta bi bio [inlmath]i![/inlmath] ili [inlmath](2i)![/inlmath] ?
atp  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 12 puta

  • +1

Re: Gama i beta funkcija

Postod Trougao » Četvrtak, 01. Jun 2017, 23:38

Pa to bi se takodje racunalo preko gama funkcije tj. sa njenim prosirenjem na kompleksne brojeve. Rucno pronaci [inlmath]i![/inlmath] je uzaludan pokusaj :crazy: moze se pronaci aproksimirano resenje okoliko ukucas na Google pretrazivacu [inlmath]i![/inlmath] , izbacuje [inlmath]0.498015668-0.154949828\cdot i[/inlmath] Lepota ovoga (po meni) nije u konkretnim vrednostima vec u tome sto se jedan jednostavan kocept [inlmath]n!=n\cdot(n-1)\cdots1[/inlmath] prosiruje na razlicite skupove. Mozes razlicite vrednosti traziti uz pomoc nekog mocnijeg kalkulatora na mobilnom telefonu.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Prethodna

Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 27. Maj 2018, 19:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs