Gama i beta funkcija

PostPoslato: Ponedeljak, 09. Mart 2015, 21:49
od desideri
Nadam se da će ovo biti interesantno. Što bi rekli stari Latini (ili beše Petrarka, no bolje da pitamo @ubavic), oni koji nisu čuli za ovo neka nauče, a učeni neka se rado sećaju (parafraziram).
Gama funkcija je nesvojstveni integral, Ojlerova funkcija druge vrste, i data je sa:
[dispmath]\Gamma(p)=\int\limits_0^\infty x^{p-1}e^{-x}\mathrm dx\qquad p>0[/dispmath]
Primetite da je ovo određeni integral čiji rezultat ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath], no kada se izračuna (analitički ili numerički) zavisiće od [inlmath]p[/inlmath]. Ovaj integral ima osobine:
[inlmath]\Gamma(n)=(n-1)!\quad n=1,2,3,\ldots\qquad\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi\qquad\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)[/inlmath]
Uzgred budi rečeno, po dogovoru se smatra da je [inlmath]0!=1[/inlmath]. Možda vam deluje nelogično, ali bez toga bi mnogo stvari palo u vodu...
Hajde da vidimo čemu ovo uopšte i služi (između ostalog). Recimo da treba rešiti integral:
[dispmath]\int\limits_0^\infty x^{10}e^{-x}\mathrm dx[/dispmath]
Naravno, dovoljno je deset parcijalnih integracija i gotovo. Dobro, i poneki limes uz to, zar ne. Zar nije lakše preko prve navedene osobine gama funkcije prosto reći da je rezultat [inlmath]10!=3628800[/inlmath]. Ako ipak preferirate klasičnu parcijalnu, izvolite. Niko ne brani.
E sad malo o beta funkciji, pretpostavljam da ste nestrpljivi... Videćete do kraja posta i jedan jako dobar trik za rešavanje užasno smarajućeg trigonometrijskog integrala, verujte mi na reč. Dakle, beta funkcija je Ojlerova funkcija prve vrste i data je sa:
[dispmath]B(p,q)=\int\limits_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\mathrm dx\quad p>0\quad q>0[/dispmath]
Gama i beta funkcija povezane su relacijom:
[dispmath]B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}[/dispmath]
Evo konačno i obećanog integrala:
[dispmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^4x\cos^4x\mathrm dx[/dispmath]
Naravno da se može raditi preko elementarnih trigonometrijskih transformacija. Potrajalo bi. A šta da su sinus i kosinus na osmi stepen? To bi potrajalo duže.
Btw, ako su u ovakvim integralima sinus i kosinus stepena različite parnosti, onda je lako rešiti ih bez cele ove priče oko beta i gama funkcije (kako?)
Evo na kraju i smene koja će ovaj integral svesti na beta funkciju: [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath]
Ako je nekom ovo interesantno, uradiću ne samo ovaj nego i još poneki integral na istu temu :thumbup:

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Utorak, 10. Mart 2015, 12:40
od Daniel
Sjajan tutorijal! :thumbs:

Što se tiče ovoga,
desideri je napisao:Uzgred budi rečeno, po dogovoru se smatra da je [inlmath]0!=1[/inlmath]. Možda vam deluje nelogično, ali bez toga bi mnogo stvari palo u vodu...

uputio bih zainteresovane da više o tome pročitaju u ovoj temi, u kojoj smo se upravo bavili tom jednakošću... ;)

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Sreda, 11. Mart 2015, 10:42
od desideri
Evo i postupka za rešavanje gore pomenutog integrala (najpre se uvodi smena [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath] za svođenje na beta funkciju):
[dispmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\sin^4x\cos^4x\mathrm dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(5)}=\frac{1}{2}\frac{\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{4!}=\frac{9\pi}{32\cdot4!}[/dispmath]
Ovo zato što je: [inlmath]\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\Gamma\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}[/inlmath]
Priznaćete da kraće ne može biti. Ko ne veruje, neka proba rešavanje trigonometrijskim transformacijama :(

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Utorak, 09. Jun 2015, 19:39
od Trougao
Jako zanimljivo. :geek: Za ovo sam saznao pre dosta vremena i jako me je zainteresovala mogućnost faktorijela od relanog broja. Uvek me je interesovalo kako su ljudi ranije računali za vrednosti kod kojih ne postoji caka niti neki način da se ona nadje za tako nešta. Da li su koristili Rimanove sume na nekom intervalu tipa od nula do [inlmath]100[/inlmath], hiljadu podeoka. :insane: I na kojem kursu se ovo uci na matematičkom fakultetu pošto niko od profesora u mojoj školi nije čuo za ovo (samo jedna profesorka matematike je čula za gama funkciju ali nije imala pojma da ona ima veze sa faktorijelom)? Ne deluje mi teško a opet mi izgleda da je ekstremno bitno makar čuti za tako nešta.

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Utorak, 09. Jun 2015, 19:47
od desideri
@Trougao,
veliki thanks za tvoj post. Naravno da ću nastaviti temu, mnogo mi je veliki motiv kada se ljudi interesuju za matematiku, ne samo u školskom smislu. :thumbup:

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 13:27
od Trougao
Da malo i ja probam da doprinesem.
Svojstvo:
[dispmath]\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)[/dispmath]
Valjda sledi kad se primeni jedna parcijalna integracija na
[dispmath]\Gamma(p+1)=\int\limits_0^{+\infty}x^{(p+1)-1}e^{-x}\mathrm{d}x=\int\limits_0^{+\infty}x^pe^{-x}\mathrm{d}x[/dispmath]
Ovde nam je: [inlmath]u=x^p,\;\mathrm{d}u=px^{p-1}\mathrm{d}x,\;\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x,\;v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]\Gamma(p+1)=\int\limits_0^{+\infty}x^pe^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}-\int\limits_0^{+\infty}-px^{p-1}e^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}+\int\limits_0^{+\infty}px^{p-1}e^{-x}\mathrm{d}x[/dispmath][dispmath]\Gamma(p+1)=-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}+\int\limits_0^{+\infty}px^{p-1}e^{-x}\mathrm{d}x[/dispmath]
Sada [inlmath]p[/inlmath] može ispred integrala.
[dispmath]\Gamma(p+1)=-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}+p\int\limits_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\mathrm{d}x[/dispmath]
I sada po definicji:
[dispmath]p\int\limits_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\mathrm{d}x=p\Gamma(p)[/dispmath]
Pa imamo:
[dispmath]\Gamma(p+1)=-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}+p\Gamma(p)[/dispmath]
Deo:
[dispmath]-e^{-x}x^p\Bigr|_0^{+\infty}=\lim_{t\to+\infty}-e^{-x}x^p\Bigr|_0^t=\lim_{t\to+\infty}-e^{-t}t^p=\lim_{t\to+\infty}-\frac{t^p}{e^t}=0[/dispmath]
I na kraju nam samo ostane :
[dispmath]\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)[/dispmath]
Nadam se da nisam omanuo negde.

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 10:38
od desideri
Odlično urađeno :thumbup: .
Kada je ovo dokazano, lako se može dokazati i veza faktorijela i gama funkcije (kada je argument prirodan broj) matematičkom indukcijom.

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 11:36
od Sinisa
[dispmath]\begin{array}{lll}
\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right) & =\frac{4\sqrt\pi}{3} & \approx2,363\\
\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) & =-2\sqrt\pi & \approx-3,545\\
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\sqrt\pi & \approx1,772\\
\Gamma\left(1\right) & =0! & =1\\
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) & =\frac{\sqrt\pi}{2} & \approx0,886\\
\Gamma\left(2\right) & =1! & =1\\
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) & =\frac{3\sqrt\pi}{4} & \approx1,329\\
\Gamma\left(3\right) & =2! & =2\\
\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) & =\frac{15\sqrt\pi}{8} & \approx3,323\\
\Gamma\left(4\right) & =3! & =6
\end{array}[/dispmath]
za sve brojeve je jednostavno izvesti preko osnovnog oblika
[dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi\\
-2\Gamma\left(\frac{-1}{2}+1\right)=-2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt\pi\\
\Gamma\left(\frac{-1}{2}\right)=-2\sqrt\pi[/dispmath]

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 12:21
od Daniel
@Trougao, svaka čast i od mene. :thumbup:
Kad smo već počeli, pokazao bih onda i ja vezu između [inlmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi[/inlmath] i Gausovog integrala:
[dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int\limits_0^{+\infty}x^{\frac{1}{2}-1}e^{-x}\mathrm dx=\int\limits_0^{+\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\mathrm dx=\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt x}\mathrm dx[/dispmath]
Smena [inlmath]\sqrt x=t,\;\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x}=\mathrm dt,\;x=t^2[/inlmath]
[dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2\int\limits_0^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt[/dispmath]
Pošto je [inlmath]e^{-t^2}[/inlmath] parna funkcija (jer u njoj promenljiva [inlmath]t[/inlmath] figuriše samo kao [inlmath]t^2[/inlmath]), njen integral od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath] biće jednak integralu od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int\limits_0^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt+\int\limits_0^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt=\int\limits_{-\infty}^0e^{-t^2}\mathrm dt+\int\limits_0^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt[/dispmath]
Integral [inlmath]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\mathrm dt[/inlmath] predstavlja Gausov integral, za čiju vrednost je poznato da iznosi [inlmath]\sqrt\pi[/inlmath]. Ovime je, dakle, pokazano da je
[dispmath]\enclose{box}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi}[/dispmath]

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 19:30
od desideri
@Daniel i @Trougao,
sve vam je tačno, baš su vam super postovi (ja baš volim ovu oblast matematike.) :)
@Sinisa, ti uvede i negativni argument, tek ti si me zainteresovao :thumbup: .
Znam da postoji i proširivanje gama funkcije za negativno [inlmath]p[/inlmath], ali moram se toga podsetiti.
Pa ti javljam da li se slažem ili ne.

A ima tu još mnogo toga.
Evo ovoga se odlično sećam na tu temu:
[dispmath]\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}\quad0<p<1[/dispmath]
Kako dokazati?

A što se tiče pomenute matematičke indukcije:
@Trougao je dokazao da važi:
[dispmath]\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)[/dispmath]
  • Induktivna pretpostavka: [inlmath]\Gamma(n)=(n-1)!\quad n=1,2,3,\ldots[/inlmath]
  • Za [inlmath]n=1[/inlmath] trivijalno se pokazuje da je ok, i bez gama funkcije.
  • [inlmath]\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)[/inlmath]
  • [inlmath]\Gamma(n+1)=n(n-1)!=n![/inlmath]

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 23:57
od Trougao
Hajde de ispisem jedan dokaz za gausov integral koji sam procitao na internetu. Dolazi od Laplasa ako se ne varam.
[dispmath]I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Posto je funkcija parna mozemo pisati i kao:
[dispmath]I=2\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Sada kvadritamo obe strane:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)^2[/dispmath]
Pa to mozemo zapisati kao:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)[/dispmath]
Kako je sve jedno koja je promenljiva upitanju mozemo u jednom integralu staviti neku drugu:
[dispmath]I^2=4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm dx\right)\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-y^2}\mathrm dy\right)[/dispmath]
Pa je to isto sto i (da li bi neko mogao da objansi intuitivno ovaj deo):
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\mathrm dy\mathrm dx[/dispmath]
Smena [inlmath]y=xs,\;\mathrm dy=x\mathrm ds[/inlmath]
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+x^2s^2\right)}x\mathrm ds\mathrm dx[/dispmath]
Sada zamenimo diferencijale posto se rezultat ne menja (mislim da ima i neka teorema o redu racunanja dvojnih integrala)
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\int\limits_0^{+\infty}e^{-\left(x^2+x^2s^2\right)}x\mathrm dx\mathrm ds[/dispmath]
Smena: [inlmath]t=-x^2\left(1+s^2\right),\;\mathrm dt=-2x\left(1+s^2\right)[/inlmath]
[dispmath]\int e^{-x^2\left(1+s^2\right)}x\mathrm dx=\Big(t=-x^2\left(1+s^2\right),\;\mathrm dt=-2x\left(1+s^2\right)\mathrm dx\Big)=\\
=\int\frac{e^t}{-2\left(1+s^2\right)}\mathrm dt=\frac{e^t}{-2\left(1+s^2\right)}+C=\frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)}}{-2\left(1+s^2\right)}+C[/dispmath]
[dispmath]I^2=4\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)}}{-2\left(1+s^2\right)}\Biggr|_0^{+\infty}\mathrm ds=4\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{2\left(1+s^2\right)}\mathrm ds=2\mathrm{arctg}(x)\Biggr|_0^{+\infty}=\pi[/dispmath][dispmath]I^2=\pi[/dispmath][dispmath]I=\sqrt{\pi}[/dispmath]
Ovaj dokaz sam trazio zato sto ne znam polarne koordinate(a ni dvojne integrale osim da su zapremina funkijce [inlmath]Z=f(x,y)[/inlmath]) :mrgreen: ) a ovaj integral se obicno resava preko njih i deluje mi elementarno.
Formula:
[dispmath]\Gamma(1-p)\Gamma(p)=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}[/dispmath]
Se zove Ojlerova refleksivna formula i iz nje se nalazi:
[dispmath]p=\frac{1}{2},\;\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}[/dispmath][dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\pi[/dispmath][dispmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}[/dispmath]
Dokaz za nju ima na ovom linku https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Reflection_Formula. Ja pojma nemam sta tu pise :think1:
Dalje od ovoga nista nemam pojma. :lol:

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 10:09
od Sinisa
desideri je napisao:@Sinisa, ti uvede i negativni argument, tek ti si me zainteresovao :thumbup: .

izgledalo mi je komplikovano da se pamte odredjene vrijednosti gama funkcije, pa sam obrnuo tvoje svojstvo [inlmath]\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)[/inlmath] i sada mogu lako doci do odredjene vrijednosti izrazene preko neke druge koju vec znamo :) (u prethodnom postu sam izrazio [inlmath]\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)[/inlmath] preko [inlmath]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath])
[dispmath]\Gamma(n)=\frac{1}{n}\Gamma(n+1)[/dispmath]

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 18:11
od Daniel
Na osnovu formule
[dispmath]\Gamma\left(n\right)=\frac{\Gamma\left(n+1\right)}{n}[/dispmath]
moguće je pokazati da gama funkcija nije definisana za nulu i za negativne cele brojeve.

Za [inlmath]n=0[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(0\right)=\frac{\Gamma\left(1\right)}{0}[/inlmath], pa zbog deljenja nulom, [inlmath]\Gamma\left(0\right)[/inlmath] nije definisana.

Za [inlmath]n=-1[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(-1\right)=\frac{\Gamma\left(0\right)}{-1}[/inlmath], tako da ni [inlmath]\Gamma\left(-1\right)[/inlmath] nije definisana, jer u njenom izrazu figuriše [inlmath]\Gamma\left(0\right)[/inlmath], za koju je pokazano da nije definisana.

Za [inlmath]n=-2[/inlmath] imamo [inlmath]\Gamma\left(-2\right)=\frac{\Gamma\left(-1\right)}{-2}[/inlmath], tako da ni [inlmath]\Gamma\left(-2\right)[/inlmath] nije definisana, jer u njenom izrazu figuriše [inlmath]\Gamma\left(-1\right)[/inlmath], za koju je pokazano da nije definisana.

I tako induktivno dalje...

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Subota, 13. Jun 2015, 13:55
od desideri
Daniel,
nema se šta prigovoriti tvom načinu razmišljanja i indukciji koju si pokazao.
Evo u prilog Sinisinom načinu razmišljanja (proširenje definicije):
Izvor: Matematička statistika, Univerzitet u Beogradu, autori: dr Svetozar Vukadinović i dr Jovan Popović, 2004. strana 235.:
Za [inlmath]n<0[/inlmath] gama funkcija jednaka je:
[dispmath]\Gamma\left(n\right)=\frac{\Gamma\left(n+1\right)}{n}[/dispmath]

Sve sam doslovno prekucao. Naglasiše [inlmath]n<0[/inlmath].
Mislim da je ovo zanimljivo.

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Subota, 13. Jun 2015, 18:50
od Daniel
desideri je napisao:Naglasiše [inlmath]n<0[/inlmath].
Mislim da je ovo zanimljivo.

Ajd razumeo bih da su stavili uslov [inlmath]n\notin\mathbb{Z}^-\cup\left\{0\right\}[/inlmath] radi definisanosti. Ali, čemu [inlmath]n<0[/inlmath] kad ova jednakost važi i za sve pozitivne [inlmath]n[/inlmath]? :think1:

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Sreda, 31. Maj 2017, 22:52
od atp
Zanimljiva tema, malo offtopic, mozda je za novu temu cak.
Sta bi bio [inlmath]i![/inlmath] ili [inlmath](2i)![/inlmath] ?

Re: Gama i beta funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 01. Jun 2017, 23:38
od Trougao
Pa to bi se takodje racunalo preko gama funkcije tj. sa njenim prosirenjem na kompleksne brojeve. Rucno pronaci [inlmath]i![/inlmath] je uzaludan pokusaj :crazy: moze se pronaci aproksimirano resenje okoliko ukucas na Google pretrazivacu [inlmath]i![/inlmath] , izbacuje [inlmath]0.498015668-0.154949828\cdot i[/inlmath] Lepota ovoga (po meni) nije u konkretnim vrednostima vec u tome sto se jedan jednostavan kocept [inlmath]n!=n\cdot(n-1)\cdots1[/inlmath] prosiruje na razlicite skupove. Mozes razlicite vrednosti traziti uz pomoc nekog mocnijeg kalkulatora na mobilnom telefonu.