Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najmanja vrednost rastojanja tačaka

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod andrijana_ » Nedelja, 24. Maj 2015, 23:44

Najmanja vrednost rastojanja tačke [inlmath]M(0,-2)[/inlmath] od tačaka [inlmath](x,y)[/inlmath] takvih da je [inlmath]y=\frac{16}{\sqrt3x^3}-2[/inlmath] za [inlmath]x>0[/inlmath], iznosi?
Rešenje je [inlmath]\frac{4}{\sqrt3}[/inlmath]
Napisala sam formulu za rastojanje između dve tačke. Valjda bih sada trebala da nađem izvod i izjednačim sa [inlmath]0[/inlmath].
Dobijam da je [inlmath]d=\sqrt\frac{3x^8+256}{3x^6}[/inlmath] i sad ne znam kako da nađem prvi izvod, ili je to pogrešno?
 
Postovi: 73
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Gamma » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 00:42

Nije pogrešno. Za tu funkciju dobija se minimum [inlmath]\frac{4}{\sqrt3}[/inlmath]. Uzmi funkciju malo sredi. Pa poslije koristi izvod količnika i izvod složene funkcije.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 01:12

Možeš izbeći i izvod količnika i izvod složene funkcije. :)
Prvo, kako da se pri traženju izvoda oslobodiš korena – pa, kada je [inlmath]d[/inlmath] minimalno, tada je, sasvim logično, i [inlmath]d^2[/inlmath] minimalno (jer je [inlmath]d\ge0[/inlmath]), tako da, umesto da tražiš izvod od [inlmath]d[/inlmath] (i petljaš se s kvadratnim korenom), lepo traži izvod od [inlmath]d^2[/inlmath], tj. od potkorene veličine. :)
Dalje, [inlmath]d^2=\frac{3x^8+256}{3x^6}[/inlmath] možeš svesti na izraz pogodniji za traženje izvoda, kako bi izbegla izvod količnika. Napišeš to kao [inlmath]x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath], i ništa lakše – to je sada zbir dva tablična izvoda. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod andrijana_ » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 10:16

Ne umem dalje da se snađem. Dobila sam da je izvod [inlmath]2x-512x^{-7}[/inlmath]. Sta dalje? Kako da dobijem [inlmath]d_{\text{min}}[/inlmath]?
 
Postovi: 73
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Gamma » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 10:26

Daniel je napisao:Možeš izbeći i izvod količnika i izvod složene funkcije.

Nisam te baš najbolje skontao. Misliš da tražim izvod funkcije koja je pod korijenom, jer je logično ako je ona minimalna i njen korijen će biti minimalan. Naravno uz uslov da je ta vrijednost pozitivna. Znači samo izvod funkcije [inlmath]y=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Na taj način se malo skrati i nema izvoda složene funkcije. Mislim da se još nikad nisam služio sličnim trikom.
Ali može i ovako (tako bih ja radio), traži se izvod ove funkcije [inlmath]y^2=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Dobije je [inlmath]y[/inlmath] koje figuriše u nazivniku (izvod složene funkcije) ali to nije ni bitno :) Kod obije funkcije dobija se taj isti minimum za [inlmath]x=\pm2[/inlmath].

@andrijana_
Izjednači prvi izvod sa nulum. I uvrsti tu vrijednost u prvobitnu funkciju i dobijaš minimalnu vrijednost funkcije.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 14:15

andrijana_ je napisao:Ne umem dalje da se snađem. Dobila sam da je izvod [inlmath]2x-512x^{-7}[/inlmath]. Sta dalje? Kako da dobijem [inlmath]d_{\text{min}}[/inlmath]?

Znači, taj izvod koji si dobila je izvod od [inlmath]d^2[/inlmath]. Ti tražiš za koje [inlmath]x[/inlmath] će taj kvadrat rastojanja biti minimalan. Prema tome, potrebno je da prvi izvod od [inlmath]d^2[/inlmath] izjednačiš s nulom (to ti je Gamma i rekao, ja samo obrazlažem).

Gamma je napisao:Nisam te baš najbolje skontao. Misliš da tražim izvod funkcije koja je pod korijenom, jer je logično ako je ona minimalna i njen korijen će biti minimalan. Naravno uz uslov da je ta vrijednost pozitivna. Znači samo izvod funkcije [inlmath]y=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Na taj način se malo skrati i nema izvoda složene funkcije. Mislim da se još nikad nisam služio sličnim trikom.

OK... I, možeš li da pojasniš šta tačno nisi skontao, kako bih mogao i da ti odgovorim? :)

Gamma je napisao:Ali može i ovako (tako bih ja radio), traži se izvod ove funkcije [inlmath]y^2=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Dobije je [inlmath]y[/inlmath] koje figuriše u nazivniku (izvod složene funkcije) ali to nije ni bitno :) Kod obije funkcije dobija se taj isti minimum za [inlmath]x=\pm2[/inlmath].

Misliš, nađemo izvod obe strane i dobijemo [inlmath]2yy'=2x-512x^{-7}[/inlmath]? OK, može i tako, i to je ispravan način. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Gamma » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 15:21

Daniel je napisao:Misliš, nađemo izvod obe strane i dobijemo [inlmath]2yy'=2x-512x^{-7}[/inlmath]? OK, može i tako, i to je ispravan način.

Upravo na to mislim :)

Daniel je napisao:OK... I, možeš li da pojasniš šta tačno nisi skontao, kako bih mogao i da ti odgovorim? :)

Govorio sam uopšteno, odnosi se na taj način bez izvoda složene funkcije. Tačnije nije mi bio baš jasan taj način gdje nema izvoda složene funkcije. Mada i to je sad OK.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod desideri » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 15:22

@Gamma,
jako si sve ovo zakomplikovao, uvodeći i drugu promenljivu.
Ovo je mnogo prosto. Zašto komplikovati?
Funkcije [inlmath]\sqrt{(\mbox{"nešto"})}[/inlmath] i [inlmath]\mbox{"nešto"}[/inlmath] dostižu minimalnu vrednost za isto [inlmath]\mbox{"nešto"}[/inlmath]. To je Daniel uostalom lepo objasnio. Isto bi važilo i za još neke funkcije...
Naravno da je uvek potrebno pogledati i domen funkcije.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Najmanja vrednost rastojanja tačaka

Postod Gamma » Ponedeljak, 25. Maj 2015, 15:26

U pravu si desideri. Tačno je da je to 100% najjednostavniji način!
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 47 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs