Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najmanja i najveca vrednost funkcije, s apsolutnom

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije, s apsolutnom

Postod Daniel » Četvrtak, 28. Maj 2015, 01:58

Pozdrav i od mene, i pridružujem se Desiderijevim pohvalama za način na koji si postavio pitanje. :thumbup:

@Gamma, @desideri, vaši grafici su sasvim OK, al' ja ću ih malo i obrazložiti. :)
koncanica je napisao:Ja dobijem dva grafika, zbog apsolutne, to je prva nejasnoca.

Da krenemo od definicije apsolutne vrednosti:
[dispmath]\left|x\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-x, & x<0\\
x, & x\ge0
\end{cases}[/dispmath]
U ovom zadatku unutar apsolutne vrednosti imamo izraz [inlmath]x+1[/inlmath]. I za njega važi isto:
[dispmath]\left|x+1\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-\left(x+1\right), & x+1<0\\
x+1, & x+1\ge0
\end{cases}[/dispmath]
a to se može napisati i kao
[dispmath]\left|x+1\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-x-1, & x<-1\\
x+1, & x\ge-1
\end{cases}[/dispmath]
I onda razmatramo zasebno dva slučaja, jedan kada je [inlmath]x<-1[/inlmath], drugi kada je [inlmath]x\ge-1[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x<-1}[/inlmath]
[dispmath]f\left(x\right)=x^2+\left(x+1\right)-1=x^2+x[/dispmath]
Grafik te funkcije izgleda ovako (deo grafika desno od [inlmath]x=-1[/inlmath] namerno sam izbledeo jer ovaj slučaj važi samo za [inlmath]x<-1[/inlmath]):

grafik 1.png
grafik 1.png (1.26 KiB) Pogledano 301 puta

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x\ge-1}[/inlmath]
[dispmath]f\left(x\right)=x^2-\left(x+1\right)-1=x^2-x-1-1=x^2-x-2[/dispmath]
Grafik te funkcije izgleda ovako (nasuprot prethodnom slučaju, sada sam izbledeo deo grafika levo od [inlmath]x=-1[/inlmath], jer ovaj slučaj važi samo za [inlmath]x\ge-1[/inlmath]):

grafik 2.png
grafik 2.png (1.45 KiB) Pogledano 301 puta

Znači, radeći ova dva odvojena slučaja, zaista dobijemo dva grafika, međutim, oni se ne preklapaju budući da jedan grafik važi za [inlmath]x<-1[/inlmath] a drugi za [inlmath]x\ge-1[/inlmath].

Tek na kraju, objedinjavanjem ova dva slučaja, ove „neizbleđene“ delove grafika spojimo u jedan i to će biti grafik ove zadate funkcije:

grafik 3.png
grafik 3.png (1.63 KiB) Pogledano 301 puta


koncanica je napisao:Druga nejasnoca mi je, kako tacka [inlmath]B\left(-\frac{9}{4}\right)[/inlmath] moze da bude minimalna vrednost kada ne upada u interval od [inlmath][-2,2][/inlmath]? Ako mozes prikazi postupak, bilo bi dosta jasnije. :)

Desideri ti je na ovo već dao odgovor, a ja ću to ilustrovati i jednim konkretnim primerom. :) Uzmimo da je [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To je vrednost koja pripada intervalu [inlmath]x\in\left[-2,2\right][/inlmath]. Kolika je vrednost funkcije za tako odabrano [inlmath]x[/inlmath]? Vrednost funkcije će biti
[dispmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left|\frac{1}{2}+1\right|-1=\frac{1}{4}-\left|\frac{3}{2}\right|-1=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}-1=-\frac{9}{4}[/dispmath]
i dobili smo upravo tu vrednost funkcije za koju si pitao. :)

Dakle: vrednost nezavisne promenljive očitavamo na [inlmath]x[/inlmath]-osi (horizontalnoj osi) i ona je u ovom zadatku ograničena na interval od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath], dok vrednost funkcije očitavamo na [inlmath]y[/inlmath]-osi (vertikalnoj osi) i u ovom zadatku se traži da odredimo kolika je minimalna a kolika vrednost te funkcije, za tako zadat interval nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije, s apsolutnom

Postod koncanica » Četvrtak, 28. Maj 2015, 10:09

@desideri
Hvala puno na odgovoru, to me je bunilo oko segmenta. ;)

@Daniel
Hvala druze, nije moglo jasnije, sve sam skapirao :))
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 28. Maj 2015, 11:15, izmenjena samo jedanput
Razlog: Spajanje dve poruke u jednu; uklonjeni suvišni (i obimni) citati
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije, s apsolutnom

Postod desideri » Četvrtak, 28. Maj 2015, 11:12

@Daniel,
ovo s "izbleđivanjem" grafika ti je sjajno :thumbup: .
@koncanica,
retko kada je potrebno citirati celu poruku. Molim te da obratiš pažnju na tačku 15. Pravilnika.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Najmanja i najveca vrednost funkcije, s apsolutnom

Postod koncanica » Četvrtak, 28. Maj 2015, 13:54

@desideri
Hvala na odgovoru, obraticu paznju :)
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Prethodna

Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 51 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs