Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod insense » Nedelja, 20. Decembar 2015, 18:37

Zdravo!

Zadatak je odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: [inlmath]f(x,y)=x^2y^3(6-x-y)[/inlmath]

Stacionarne tacke koje se dobiju su [inlmath]M(0,t)[/inlmath], [inlmath]N(t, 0)[/inlmath], [inlmath]S(2, 3)[/inlmath].

Posto za tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] Silvesterov kriterijum ne daje odgovor (konkretno za [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]\Delta_2=\begin{vmatrix}2t^3(6-t) & 0 \\0 & 0 \end{vmatrix}=0[/inlmath]), kako ispitati prirastaj funkcije u tacki [inlmath]M(0,t)[/inlmath] i preko njega odrediti da li je ta tacka lokalni ekstremum?

Hvala!
insense  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod Onomatopeja » Nedelja, 20. Decembar 2015, 22:29

Tako je, Silvesterov kriterijum ne daje odgovor za te dve familije tacaka (napomenimo samo da za tacku [inlmath]S(2,3)[/inlmath] daje da je to lokalni maksimum posmatrane funkcije). Dobro, zato smo sad primorani da posao zavrsimo „golim rukama“. Evo ja cu pokazati kako je to moguce uraditi za tacke [inlmath]M_t(0,t)[/inlmath], [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath] (odnosno kada se krecemo po [inlmath]y[/inlmath]-osi).

Naime, potrebno je posmatrati „peske“ kako se funkcija ponasa oko takvih tacaka. Prvo, primetimo da je funkcija u tim tackama jednaka nuli. To nam olaksava posao jer onda je samo potrebno odrediti da li funkcija i kako menja znak oko tih tacaka. Primetimo da je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], te na taj deo funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne moramo da obracamo paznju. Takodje, [inlmath]y^3\le0[/inlmath] za [inlmath]y\le0[/inlmath] (i slicno za suprotan znak). U sustini, to znaci da ako je tacka ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose da je ona funkciji daje minus znak, a ako je iznad, onda plus.

Dobro, sta je sa [inlmath]6-x-y[/inlmath]? Prvo, za tacke [inlmath](x,y)[/inlmath] koje zadovoljavaju [inlmath]x+y=6[/inlmath] nasa funkcija se isto anulira (nije lose nacrtati ovu pravu na grafiku). Kada se nacrta grafik te prave, vidi se da za sve tacke [inlmath](x,y)[/inlmath] levo od te prave vazi [inlmath]x+y<6[/inlmath], tj. [inlmath]6-x-y>0[/inlmath]. Takodje, za sve tacke desno je [inlmath]6-x-y<0[/inlmath]. I sad samo uklopimo to u nasu pricu (minus puta minus je plus, i slicno). Naime, trebalo bi da vidis da je za:

  • tacke levo od prave [inlmath]x+y=6[/inlmath] i koje su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose je znak negativan,
  • tacke levo od prave [inlmath]x+y=6[/inlmath] i koje su iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose je znak pozitivan,
  • tacke desno od prave [inlmath]x+y=6[/inlmath] i koje su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose je znak pozitivan,
  • tacke desno od prave [inlmath]x+y=6[/inlmath] i koje su iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose je znak negativan.
I sada gledamo okoline tacaka sa [inlmath]y[/inlmath]-ose, tj. okoline tacaka oblika [inlmath]M_t(0,t)[/inlmath]. Trebalo bi da primetis da je za [inlmath]t>6[/inlmath] funkcija negativna oko [inlmath]y[/inlmath]-ose, te su za te vrednosti tacke [inlmath]M_t[/inlmath] lokalni maksimumi (jer je u tim tackama funkcija jednaka nuli, a oko njih je negativna). Da za [inlmath]0<t<6[/inlmath] je lokalni minimum, a za [inlmath]t<0[/inlmath] lokalni maksimum. Takodje, potrebno je videti sta se desava u granicnim slucajevima [inlmath]t=0[/inlmath] i [inlmath]t=6[/inlmath], a od malopre se vidi da u okolini tih tacaka je funkcija i pozitivna i negativna, pa te tacke nisu tacke u kojim funkcija uzima ekstremne vrednosti.

Nadam se da je jasan postupak. Ako ne, tu smo, pitaj.

I naravno, ostavio sam pricu oko tacaka [inlmath]N_t[/inlmath] za tebe, pa se nadam da ces nam pokazati kako bi tu sve islo.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod insense » Nedelja, 20. Decembar 2015, 23:25

Hvala na odgovoru!
U redu, onda bi za tacke [inlmath]N_t(t, 0)[/inlmath] trebalo ovako:

[inlmath]f(N_t)=0[/inlmath], dakle, dovoljno je ispitati znak funkcije u okolini tacaka iz ove familije
[inlmath]f(x, y)=x^2y^3(6-x-y)=\underbrace{x^2y^2}y(6-x-y)[/inlmath]

Dakle, znak funkcije zavisi samo od [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath](6-x-y)[/inlmath]

Imamo razlicite slucajeve:

1) [inlmath]y>0,\;(6-x-y)>0[/inlmath]
Znak je pozitivan, a predeo je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose i levo od prave [inlmath](6-x-y=0)[/inlmath]

2) [inlmath]y>0,\;(6-x-y)<0[/inlmath]
Znak je negativan, a predeo je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose i desno od prave [inlmath](6-x-y=0)[/inlmath]

3) [inlmath]y<0,\;(6-x-y)>0[/inlmath]
Znak je negativan, a predeo je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose i levo od prave [inlmath](6-x-y=0)[/inlmath]

4) [inlmath]y<0,\;(6-x-y)<0[/inlmath]
Znak je pozitivan, a predeo je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose i desno od prave [inlmath](6-x-y=0)[/inlmath]

Dakle:

1) [inlmath]t>6[/inlmath]: funkcija u okolini uzima i pozitivne i negativne vrednosti, dakle, nije tacka lokalnog ekstremuma
2) [inlmath]t=6[/inlmath]: funkcija u okolini uzima i pozitivne i negativne vrednosti, dakle, nije tacka lokalnog ekstremuma
3) [inlmath]0<t<6[/inlmath]: funkcija u okolini uzima i pozitivne i negativne vrednosti, dakle, nije tacka lokalnog ekstremuma
4) [inlmath]t=0[/inlmath]: funkcija u okolini uzima i pozitivne i negativne vrednosti, dakle, nije tacka lokalnog ekstremuma
5) [inlmath]t<0[/inlmath]: funkcija u okolini uzima i pozitivne i negativne vrednosti, dakle, nije tacka lokalnog ekstremuma

Ako bi ovako islo, onda super. Medjutim, mene nesto drugo zanima. Da li bi bilo moguce preko prirastaja uraditi ovaj zadatak za tacke [inlmath]M_t[/inlmath] i [inlmath]N_t[/inlmath]?
Problem na koji nailazim je sledeci (recimo, u tacki [inlmath]M_t[/inlmath]):

[inlmath]f(0+h,t+k)-f(0,t)=h^2(t+k)^3(6-h-t-k)-0=h^2(t+k)^2\underbrace{(t+k)(6-h-t-k)}[/inlmath]
Kako da odredim znak podvucenog dela?
insense  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 21. Decembar 2015, 00:40

Da, dobro je tvoje resenje.

Moze se resiti i preko prirastaja, s tim da je to po meni teze/pipavije resenje. Evo kako mozemo razmisljati za, na primer, tacke [inlmath]M_t[/inlmath]. Naime, prvo vidimo da [inlmath]h^2[/inlmath] ne utice na znak, to je bar jasno. Takodje, nama je ipak dovoljno da [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] budu proizvoljno mali, tj. neke okolinice (eh, poceo sam i da tepam), te u sustini vidimo da u tom tvom podvucenom delu [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]6-t[/inlmath] diktiraju tempo. Prvo, uzmimo da je [inlmath]h=\pm\varepsilon[/inlmath] i [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath], gde je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] (dakle, cetiri slucaja posmatramo, tj. pravimo okoline u obliku kvadrata oko nasih posmatranih tacaka). Ako je [inlmath]t>0[/inlmath] onda je i [inlmath]t+k>0[/inlmath], jer ako je [inlmath]k=\varepsilon[/inlmath] onda je sve jasno, a ako je [inlmath]k=-\varepsilon[/inlmath] onda uzmimo epsilon dovoljno malo tako da je ponovo [inlmath]t-\varepsilon>0[/inlmath] (ovde u sustini imamo samo problem ako je [inlmath]t[/inlmath] dovoljno blisko nuli, a i tada je sve resivo (na primer, u tom slucaju uzmemo [inlmath]\displaystyle\varepsilon=\frac{t}{2}[/inlmath])). Slicno, ako je [inlmath]t<0[/inlmath] onda je [inlmath]t+k<0[/inlmath]. Sada pogledajmo [inlmath]6-h-t-k[/inlmath]. Tu sam vec rekao da to mozemo posmatrati kao [inlmath]6-t[/inlmath], tj. gledati slucaj [inlmath]6-t>0[/inlmath], odnosno [inlmath]t<6[/inlmath] i slucaj [inlmath]t>6[/inlmath] (posebno cemo razmotriti slucaj [inlmath]t=6[/inlmath], kao i [inlmath]t=0[/inlmath] (sto smo isto preskocili)). Trebalo bi biti jasno da na primer za [inlmath]t<6[/inlmath] je isto [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath] za dovoljno male [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]. Al hajde da to razdvojimo na slucajeve:

  • ako je [inlmath]h=k=\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t-2\varepsilon>0[/inlmath] ako uzmemo na primer [inlmath]\displaystyle\varepsilon<\frac{6-t}{2}[/inlmath];
  • ako je [inlmath]h=\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=-\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t>0[/inlmath];
  • ako je [inlmath]h=-\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t>0[/inlmath];
  • ako je [inlmath]h=k=-\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t+2\varepsilon>6-t>0[/inlmath].
Dakle, vidimo da za [inlmath]t<6[/inlmath] mozemo smatrati da za svaku tacku [inlmath](0,t)[/inlmath] postoli okolina u kojoj je [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath]. A slicno bismo pokazali da za [inlmath]t>6[/inlmath] svaka tacka [inlmath](0,t)[/inlmath] ima okolinu u kojoj je [inlmath]6-h-t-k<0[/inlmath].

Isto tako, rekli smo da [inlmath]t<0[/inlmath], odnosno [inlmath]t>0[/inlmath] diktira tempo za znak od [inlmath]t+k[/inlmath]. I sad kada to sklopimo, vidimo da za [inlmath]0<t<6[/inlmath] postoji okolina [inlmath][-h,h]\times[t-k,t+k][/inlmath] za tacku [inlmath](0,t)[/inlmath] za koju je [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath] i [inlmath]t+k>0[/inlmath], te je samim tim u toj okolini [inlmath]f(h,t+k)-f(0,t)>0[/inlmath], tj. tacka [inlmath](0,t)[/inlmath] je lokalni minimum. Dalje lako idu zaključci za [inlmath]t<0[/inlmath] i [inlmath]t>6[/inlmath].

Jos samo za slucaj [inlmath]t=0[/inlmath] ili [inlmath]t=6[/inlmath]. Naime, ako je [inlmath]t=0[/inlmath] onda je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)=h^2k^3(6-h-k)[/inlmath]. Vidimo da je i ovo [inlmath]k^3[/inlmath] promenljivo, sto ce i diktirati tempo promene znaka funkcije. Zaista, ako je [inlmath]h=k=\varepsilon[/inlmath], onda je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)>0[/inlmath]. Sa druge strane, za [inlmath]h=\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=-\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath], je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)<0[/inlmath]. A kako [inlmath]\varepsilon[/inlmath] moze biti proizvoljno malo, to vidimo da se ne mozemo izvuci iz te situacije (tj. da nadjemo pogodnu okolinicu). Zato tacka [inlmath](0,0)[/inlmath] nije lokalni ekstrem. Slicno se radi i za [inlmath]t=6[/inlmath].

U redu, mislim da sam bio i vise nego jasan, al ako nisam, ti pitaj. Takodje, pokusaj sam za tacke [inlmath]N_t[/inlmath] (da napomenemo i to da tu ipak imas neki osecaj kako bi trebalo namestati, jer si vec resio taj slucaj, ali na drugi nacin).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod insense » Ponedeljak, 21. Decembar 2015, 21:14

Ok. Znaci, kod odredjivanja preko prirastaja, ukoliko imamo neki "parametar" (u ovom slucaju [inlmath]t[/inlmath]), da bismo pokazali da izraz [inlmath]f(0+h,t+k)-f(0,t)=h^2(t+k)^3(6-h-t-k)-0=h^2(t+k)^2\underbrace{(t+k)(6-h-t-k)}[/inlmath] menja (ili ne menja) znak treba diskutovati po vrednostima tog [inlmath]t[/inlmath]-a, tako da [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] uzimaju neke male vrednosti. Posto su [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] mali, a znak zavisi samo od podvucenog dela, onda za [inlmath]t[/inlmath] uzimamo vrednosti:

1)[inlmath]t>0[/inlmath], [inlmath]t<6[/inlmath]
Ako posmatramo [inlmath](t+k)[/inlmath], on je za [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath] veci od 0, a ako posmatramo [inlmath](6-h-t-k)[/inlmath] i on je takodje za [inlmath]k=h=\pm\varepsilon[/inlmath] veci od 0, pa sledi da se znak ne menja ([inlmath](t+k)(6-h-t-k)>0[/inlmath], lokalni min)

2)[inlmath]t<0[/inlmath]
Ako posmatramo [inlmath](t+k)[/inlmath], on je za [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath] manji od 0, a ako posmatramo [inlmath](6-h-t-k)[/inlmath] on je za [inlmath]k=h=\pm\varepsilon[/inlmath] veci od 0, pa sledi da se znak ne menja ([inlmath](t+k)(6-h-t-k)<0[/inlmath], lokalni max)

3)[inlmath]t>6[/inlmath]
Ako posmatramo [inlmath](t+k)[/inlmath], on je za [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath] veci od 0, a ako posmatramo [inlmath](6-h-t-k)[/inlmath] on je za [inlmath]k=h=\pm\varepsilon[/inlmath] manji od 0, pa sledi da se znak ne menja ([inlmath](t+k)(6-h-t-k)<0[/inlmath], lokalni max)

4)[inlmath]t=0[/inlmath]
Ako posmatramo [inlmath](t+k)[/inlmath], on je za [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath] promenljivog znaka, pa samim tim otpada kao tacka lokalnog ekstremuma

5)[inlmath]t=6[/inlmath]
Ako posmatramo [inlmath](6-h-t-k)[/inlmath] on je za [inlmath]k=h=\pm\varepsilon[/inlmath] promenljivog znaka, pa takodje otpada kao tacka lokalnog ekstremuma

Da li je to zapravo bila ideja?
insense  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod Onomatopeja » Utorak, 22. Decembar 2015, 10:39

Da, u principu. Pokazivali smo da postoje okoline nasih tacaka takve da u tim okolinama nase tacke zaista budu ekstremne tacke, odnosno da ne budu. Mozemo li da vidimo sad deo i za [inlmath]N_t[/inlmath] tacke?
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod insense » Utorak, 22. Decembar 2015, 22:07

Za tacke [inlmath]N_{t}[/inlmath] imamo:
[inlmath]f(t+h,0+k)-f(t,0)=(t+h)^2k^3(6-t-h-k) - 0=(t+h)^2k^2\underbrace{(k)(6-t-h-k)}[/inlmath], tako da nam je bitan znak podvucenog dela.
Diskusijom po [inlmath]t[/inlmath] (kao u delu za tacke [inlmath]M_{t}[/inlmath]), mozemo zakljuciti da ce vrednost podvucenog dela zavisiti od [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath], te ce se u zavisnosti od izbora vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] znak menjati (dakle, nemamo lokalnih ekstremuma).
insense  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Lokalni ekstremumi funkcije vise promenljivih

Postod Onomatopeja » Petak, 25. Decembar 2015, 18:44

U redu je to, s tim da kada bih ja resavao taj deo ja bih bio malo precizniji, tj. opsirniji u samom objasnjenju. Ali dobro, ja ovaj tvoj prethodni post shvatam vise kao neku ideju, a ne nesto sto bi ti napisao na pismenom ili cemu vec, te je to u tom smislu sasvim u redu.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs