Da, dobro je tvoje resenje.
Moze se resiti i preko prirastaja, s tim da je to po meni teze/pipavije resenje. Evo kako mozemo razmisljati za, na primer, tacke [inlmath]M_t[/inlmath]. Naime, prvo vidimo da [inlmath]h^2[/inlmath] ne utice na znak, to je bar jasno. Takodje, nama je ipak dovoljno da [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] budu proizvoljno mali, tj. neke okolinice (eh, poceo sam i da tepam), te u sustini vidimo da u tom tvom podvucenom delu [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]6-t[/inlmath] diktiraju tempo. Prvo, uzmimo da je [inlmath]h=\pm\varepsilon[/inlmath] i [inlmath]k=\pm\varepsilon[/inlmath], gde je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] (dakle, cetiri slucaja posmatramo, tj. pravimo okoline u obliku kvadrata oko nasih posmatranih tacaka). Ako je [inlmath]t>0[/inlmath] onda je i [inlmath]t+k>0[/inlmath], jer ako je [inlmath]k=\varepsilon[/inlmath] onda je sve jasno, a ako je [inlmath]k=-\varepsilon[/inlmath] onda uzmimo epsilon dovoljno malo tako da je ponovo [inlmath]t-\varepsilon>0[/inlmath] (ovde u sustini imamo samo problem ako je [inlmath]t[/inlmath] dovoljno blisko nuli, a i tada je sve resivo (na primer, u tom slucaju uzmemo [inlmath]\displaystyle\varepsilon=\frac{t}{2}[/inlmath])). Slicno, ako je [inlmath]t<0[/inlmath] onda je [inlmath]t+k<0[/inlmath]. Sada pogledajmo [inlmath]6-h-t-k[/inlmath]. Tu sam vec rekao da to mozemo posmatrati kao [inlmath]6-t[/inlmath], tj. gledati slucaj [inlmath]6-t>0[/inlmath], odnosno [inlmath]t<6[/inlmath] i slucaj [inlmath]t>6[/inlmath] (posebno cemo razmotriti slucaj [inlmath]t=6[/inlmath], kao i [inlmath]t=0[/inlmath] (sto smo isto preskocili)). Trebalo bi biti jasno da na primer za [inlmath]t<6[/inlmath] je isto [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath] za dovoljno male [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]. Al hajde da to razdvojimo na slucajeve:
- ako je [inlmath]h=k=\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t-2\varepsilon>0[/inlmath] ako uzmemo na primer [inlmath]\displaystyle\varepsilon<\frac{6-t}{2}[/inlmath];
- ako je [inlmath]h=\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=-\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t>0[/inlmath];
- ako je [inlmath]h=-\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t>0[/inlmath];
- ako je [inlmath]h=k=-\varepsilon[/inlmath], tada je [inlmath]6-h-t-k=6-t+2\varepsilon>6-t>0[/inlmath].
Dakle, vidimo da za [inlmath]t<6[/inlmath] mozemo smatrati da za svaku tacku [inlmath](0,t)[/inlmath] postoli okolina u kojoj je [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath]. A slicno bismo pokazali da za [inlmath]t>6[/inlmath] svaka tacka [inlmath](0,t)[/inlmath] ima okolinu u kojoj je [inlmath]6-h-t-k<0[/inlmath].
Isto tako, rekli smo da [inlmath]t<0[/inlmath], odnosno [inlmath]t>0[/inlmath] diktira tempo za znak od [inlmath]t+k[/inlmath]. I sad kada to sklopimo, vidimo da za [inlmath]0<t<6[/inlmath] postoji okolina [inlmath][-h,h]\times[t-k,t+k][/inlmath] za tacku [inlmath](0,t)[/inlmath] za koju je [inlmath]6-h-t-k>0[/inlmath] i [inlmath]t+k>0[/inlmath], te je samim tim u toj okolini [inlmath]f(h,t+k)-f(0,t)>0[/inlmath], tj. tacka [inlmath](0,t)[/inlmath] je lokalni minimum. Dalje lako idu zaključci za [inlmath]t<0[/inlmath] i [inlmath]t>6[/inlmath].
Jos samo za slucaj [inlmath]t=0[/inlmath] ili [inlmath]t=6[/inlmath]. Naime, ako je [inlmath]t=0[/inlmath] onda je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)=h^2k^3(6-h-k)[/inlmath]. Vidimo da je i ovo [inlmath]k^3[/inlmath] promenljivo, sto ce i diktirati tempo promene znaka funkcije. Zaista, ako je [inlmath]h=k=\varepsilon[/inlmath], onda je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)>0[/inlmath]. Sa druge strane, za [inlmath]h=\varepsilon[/inlmath], [inlmath]k=-\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}[/inlmath], je [inlmath]f(h,k)-f(0,0)<0[/inlmath]. A kako [inlmath]\varepsilon[/inlmath] moze biti proizvoljno malo, to vidimo da se ne mozemo izvuci iz te situacije (tj. da nadjemo pogodnu okolinicu). Zato tacka [inlmath](0,0)[/inlmath] nije lokalni ekstrem. Slicno se radi i za [inlmath]t=6[/inlmath].
U redu, mislim da sam bio i vise nego jasan, al ako nisam, ti pitaj. Takodje, pokusaj sam za tacke [inlmath]N_t[/inlmath] (da napomenemo i to da tu ipak imas neki osecaj kako bi trebalo namestati, jer si vec resio taj slucaj, ali na drugi nacin).