Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Funkcija ogranicene varijacije

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Funkcija ogranicene varijacije

Postod simplex » Nedelja, 17. Januar 2016, 01:32

Može li detaljnije objašnjenje za ovaj zadatak (postupak, rešenje) :kojik:

Zadatak:
Funkcija [inlmath]f[/inlmath] je ograničene varijacije na [inlmath][a,b][/inlmath] ako i samo ako postoji u [inlmath][a,b][/inlmath] monotono rastuća funkcija [inlmath]g[/inlmath] takva da je [dispmath]\left |f\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq g\left ( y \right )-g\left ( x \right ), za\ \ \ \ \ \ a\leq x\leq y\leq b[/dispmath]
Rešenje:
(Potreban uslov): Funkcija [inlmath]f[/inlmath] je ograničene varijacije, a funkcija [inlmath]g(x)=V^{x}_{a}f[/inlmath] je rastuća na [inlmath][a,b][/inlmath], i otuda važi nejednakost [dispmath]\left | f(y)-f(x) \right |\leq V^{^{y}}_{x}f=V^{y}_{a}f-V^{x}_{a}f=g(y)-g(x)[/dispmath]
(Dovoljan uslov): Kako je sada funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] rastuća na [inlmath][a,b][/inlmath] i važi nejednakost [inlmath]\left |f\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq g\left ( y \right )-g\left ( x \right ), za\ \ \ \ a\leq x\leq y\leq b[/inlmath], konstrukcijom podele [inlmath]P(a=x_{0}<x_{1}...<x_{n}=b)[/inlmath], odavde sledi [dispmath]Sp\ f\sum\limits_{k=1}^{n}\left | f(x_{k})-f(x_{k-1}) \right |\leq g(b)-g(a).[/dispmath]
Znači, [inlmath]f\in V[a,b][/inlmath], i [inlmath]V^{b}_{a}f\leq g(b)-g(a).[/inlmath]
HVALA !
simplex  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Funkcija ogranicene varijacije

Postod Onomatopeja » Nedelja, 17. Januar 2016, 15:55

Uvek je potrebno, kada se postavlja neko ovakvo pitanje, da se i da definicija funkcije ogranicene varijacije na nekom zatvorenom intervalu [inlmath][a,b][/inlmath]. Ja pretpostavljam da je to onda standardna, tj. funkcija [inlmath]f \colon [a,b] \to \mathbb{R}[/inlmath] je ogranicene varijacije (u oznaci [inlmath]f \in BV[a,b][/inlmath] (da, ja cu koristiti [inlmath]BV[a,b][/inlmath] (bounded variation) umesto [inlmath]V[a,b][/inlmath]) ako je [inlmath]\sup\limits_P \sum\limits_{k=1}^n |f(x_k)-f(x_{k-1})|[/inlmath] ogranicen, za svaku podelu (particiju) [inlmath]P: a=x_0<x_1<\ldots<x_n<b[/inlmath] segmenta [inlmath][a,b][/inlmath]. U redu, sad da krenemo na biznis.

U potrebnom uslov, prvo je potrebno pokazati da je funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] rastuca na [inlmath][a,b][/inlmath]. Da li znas da to uradis? Ako da, onda je potrebno da razjasnimo zasto vazi [inlmath]|f(y)-f(x)| \le V_x^y f[/inlmath], a to mozemo videti i tako sto uzmemo particiju [inlmath]P: x=x_0<x_1=y[/inlmath] (dakle, fakticki i ne vrsimo podelu, ali to je isto dozvoljeno), i tada je [inlmath]|f(y)-f(x)| = |f(x_1)-f(x_0)|[/inlmath], a kako je [inlmath]V_x^y f[/inlmath] supremum po svim podelama (a ovo malopre jeste jedna), to je onda i [inlmath]|f(y)-f(x)|\le V_x^y f[/inlmath]. Dalje, korisceno je da je [inlmath]V_a^y f= V_a^x f + V_x^y f[/inlmath], sto bi trebalo bi da si negde video (ili pak ne?, a trebalo bi), i na kraju je samo iskoriceno kako smo definisali funkciju [inlmath]g[/inlmath].

Za dovoljan uslov, mi smo uzeli jednu proizvoljnu podelu i iskoristili
[dispmath]\sum_{k=1}^n |f(x_k)-f(x_{k-1})| \le \sum_{k=1}^n \bigl(g(x_k)-g(x_{k-1})\bigr) = g(x_n)-g(x_0)=g(b)-g(a),[/dispmath] a onda ako uzmemo supremum po svim podelima dobijamo [inlmath]\sup\limits_P \sum\limits_{k=1}^n |f(x_k)-f(x_{k-1})| \le g(b)-g(a)[/inlmath] (jer je [inlmath]g(b)-g(a)[/inlmath] jedno gornje ogranicenje, a supremum je najmanje, te je onda manje do jednako i od ovog [inlmath]g(b)-g(a)[/inlmath]), odnosno [inlmath]V_a^b f\le g(b)-g(a)< \infty[/inlmath], te je [inlmath]f \in BV[a,b][/inlmath].

I nije bas jasna oznaka [inlmath]Sp\ f[/inlmath] koja stoji ispred sume, te bi i to trebalo da objasnis (sta si mislio pod time (verovatno odgovarajuci zbir funkcije [inlmath]f[/inlmath] indukovan podelom [inlmath]P[/inlmath])).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs