Može li detaljnije objašnjenje za ovaj zadatak (postupak, rešenje)
Zadatak:
Funkcija [inlmath]f[/inlmath] je ograničene varijacije na [inlmath][a,b][/inlmath] ako i samo ako postoji u [inlmath][a,b][/inlmath] monotono rastuća funkcija [inlmath]g[/inlmath] takva da je [dispmath]\left |f\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq g\left ( y \right )-g\left ( x \right ), za\ \ \ \ \ \ a\leq x\leq y\leq b[/dispmath]
Rešenje:
(Potreban uslov): Funkcija [inlmath]f[/inlmath] je ograničene varijacije, a funkcija [inlmath]g(x)=V^{x}_{a}f[/inlmath] je rastuća na [inlmath][a,b][/inlmath], i otuda važi nejednakost [dispmath]\left | f(y)-f(x) \right |\leq V^{^{y}}_{x}f=V^{y}_{a}f-V^{x}_{a}f=g(y)-g(x)[/dispmath]
(Dovoljan uslov): Kako je sada funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] rastuća na [inlmath][a,b][/inlmath] i važi nejednakost [inlmath]\left |f\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq g\left ( y \right )-g\left ( x \right ), za\ \ \ \ a\leq x\leq y\leq b[/inlmath], konstrukcijom podele [inlmath]P(a=x_{0}<x_{1}...<x_{n}=b)[/inlmath], odavde sledi [dispmath]Sp\ f\sum\limits_{k=1}^{n}\left | f(x_{k})-f(x_{k-1}) \right |\leq g(b)-g(a).[/dispmath]
Znači, [inlmath]f\in V[a,b][/inlmath], i [inlmath]V^{b}_{a}f\leq g(b)-g(a).[/inlmath]
HVALA !