Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Nejednakost sa prirodnim logaritmom

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Trougao » Petak, 12. Februar 2016, 18:38

Imam problem da resim jedan zadatak sa prirodnim logaritmom. On glasi ovako:
Dokazati da vazi
[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}\leq\frac{1}{\sqrt{x}},\quad x>1[/dispmath]
Negde moja ideja je bila da napravim pomocnu funkiju od razlike gorenje dve i da dokazem da je uvek negativna i da preko izvoda dokazem da opada, ali mi se to izjalovilo ne mogu da resim nejednacinu. Treba mi samo neka ideja.
Zadatak je sa ispita analize1a na matf-u.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod desideri » Petak, 12. Februar 2016, 19:47

Evo jednostavne ideje, no ako je potrebno odgovoriću i detaljnije.
Ako je dato [inlmath]x>1[/inlmath] onda je logaritam sigurno pozitivan.
Što znači da je i izraz:
[dispmath]\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Trougao » Petak, 12. Februar 2016, 20:02

Molim te za detaljnije stvarno ne vidim kako bi mi pomoglo.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod desideri » Petak, 12. Februar 2016, 20:51

Evo ovo je bila moja ideja:
Funkcija [inlmath]\frac{x-1}{\sqrt{x}}[/inlmath]
brže raste i uvek je iznad funkcije [inlmath]\ln x[/inlmath] ako je [inlmath]x>1[/inlmath].
To se dokazuje tako što je prvi izvod prve funkcije uvek veći od prvog izvoda druge funkcije. Naravno za [inlmath]x>1[/inlmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Trougao » Subota, 13. Februar 2016, 21:42

Izvinjavam se sto ranije nisam odgovorio bese danas kolokvijum ne tako sjajno odradjen :icon_lol:.
Ta ideja mi se dopala to mi je isto palo na pamet ali evo jednog predlozenog resenja koje nije moje vec od jednog od mojih kolega sa faksa.
[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{1}{y}\leq\frac{1}{\sqrt{y}}[/dispmath]
Meni se ovo ne dopada zato sto je [inlmath]y[/inlmath] broj izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] a ne tacno [inlmath]x[/inlmath]. Sta mislis o ovome?
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

  • +1

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod desideri » Ponedeljak, 15. Februar 2016, 20:57

Ovo se ni meni uopšte ne sviđa, neophodno je da se dodefiniše šta je [inlmath]y[/inlmath].
Razmisliću još.
Mada ima ovde nešto. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Daniel » Utorak, 16. Februar 2016, 08:53

Trougle, (valjda sam dobro ubô vokativ, nisam se nikad ranije obraćao jednom trouglu :) ) jesi li ti razumeo to njihovo rešenje, i ako jesi, bi li mogao malo da ga objasniš? Ja nikako ne kontam odakle se ovde stvorilo to [inlmath]y[/inlmath] i šta to [inlmath]y[/inlmath] predstavlja. :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Trougao » Utorak, 16. Februar 2016, 10:33

Izvinjavam se mislio sam da je jasno :mrgreen: . Ideja je da da se doda [inlmath]-0[/inlmath] pa da se ona predstavi kao [inlmath]-\ln(1)[/inlmath]. I onda se primeni lagranzova teorema. Ali meni se to ne dopada jer [inlmath]y[/inlmath] nije jednako [inlmath]x[/inlmath].
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Nejednakost sa prirodnim logaritmom

Postod Daniel » Četvrtak, 18. Februar 2016, 06:50

Trougao je napisao:[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{1}{y}\leq\frac{1}{\sqrt{y}}[/dispmath]
Meni se ovo ne dopada zato sto je [inlmath]y[/inlmath] broj izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] a ne tacno [inlmath]x[/inlmath]. Sta mislis o ovome?

Ni meni ovo baš ne pije vodu, mada moguće i da ja nešto previđam.
Da je [inlmath]y\ge x[/inlmath], onda bi bilo [inlmath]\frac{1}{\sqrt y}\le\frac{1}{\sqrt x}[/inlmath], pa bi time bilo dokazano i [inlmath]\frac{\ln(x)}{x-1}\le\frac{1}{\sqrt x}[/inlmath].
Ali, ovde je [inlmath]y<x[/inlmath], tako da to ne vredi.
Ukoliko ovaj njihov način ipak dovodi do valjanog dokaza, onda svakako nije dovoljno to samo ovako napisati, već je neophodno i dodatno prokomentarisati i obrazložiti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs