Dobro došao na Forum.
Ja imam neku ideju, pa ćemo videti koliko je ona ispravna
. (Usput, odakle je ovaj zadatak?)
Funkciju [inlmath]f(x)=x(x-1)+f\left(\frac{x}{3}\right)[/inlmath] možemo dalje "raspisati" na sledeći način:
[dispmath]\begin{align}
f(x)&=x(x-1)+f\left(\frac{x}{3}\right)\\
&=x^2-x+f\left(\frac{x}{3}\right)\\
&=x^2-x+\frac{x^2}{9}-\frac{x}{3}+f\left(\frac{x}{9}\right)\\
&=x^2-x+\frac{x^2}{9}-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{81}-\frac{x}{9}+f\left(\frac{x}{27}\right)\\
&\qquad\vdots
\end{align}[/dispmath] Ovo možemo malo da sredimo izvlačeći [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath]f(x)=x^2\cdot\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\cdots\right)-x\cdot\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots\right)+f\left(\frac{x}{3^k}\right)[/dispmath] Ovo se može lepše napisati:
[dispmath]f(x)=x^2\cdot\sum_{k=0}^n\left(\frac{1}{9^k}\right)-x\cdot\sum_{k=0}^n\left(\frac{1}{3^k}\right)+f\left(\frac{x}{3^{n+1}}\right)[/dispmath] Primeti da su ove sume zapravo geometrijski nizovi kod kojih je količnik [inlmath]\frac{1}{9}[/inlmath], odnosno [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], pa te sume možemo lako izračunati – [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{9^k}\right)=\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{9}}[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{3^k}\right)=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}[/inlmath]. Uz neprekidnost funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] (po uslovu zadatka) i kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\begin{align}
f(x)&=f\left(\frac{x}{3^{n+1}}\right)+x^2\cdot\left(\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{9}}\right)-x\cdot\left(\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}\right)\\
&=f(0)+x^2\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{9}}-x\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\
&=f(0)+\frac{9}{8}x^2-\frac{3}{2}x
\end{align}[/dispmath] To će rešenje zadatka biti sve funkcije koje zadovoljavaju [inlmath]f(x)=f(0)+\frac{9}{8}x^2-\frac{3}{2}x[/inlmath]