Inverzna funkcija
Poslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 17:02
Znam da smaram sa ovim inverznim funkcijama po treći put, ali šta ću..
Naći inverznu funkciju funkciji:
[dispmath]f(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2},\;a>1,\;x\le0[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{a^x+\frac{1}{a^x}}{2}[/dispmath][dispmath]a^x=t[/dispmath][dispmath]y=\frac{t+\frac{1}{t}}{2}[/dispmath][dispmath]2y=t+\frac{1}{t}[/dispmath][dispmath]t^2-2yt+1=0[/dispmath][dispmath]t=y\pm\sqrt{y^2-1}[/dispmath][dispmath]t=y-\sqrt{y^2-1}[/dispmath]
[dispmath]a^x=y-\sqrt{y^2-1}[/dispmath][dispmath]x=\log_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=\log_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)[/dispmath][dispmath]x-\sqrt{x^2-1}>0[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2-1}<x[/dispmath]
Naći inverznu funkciju funkciji:
[dispmath]f(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2},\;a>1,\;x\le0[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{a^x+\frac{1}{a^x}}{2}[/dispmath][dispmath]a^x=t[/dispmath][dispmath]y=\frac{t+\frac{1}{t}}{2}[/dispmath][dispmath]2y=t+\frac{1}{t}[/dispmath][dispmath]t^2-2yt+1=0[/dispmath][dispmath]t=y\pm\sqrt{y^2-1}[/dispmath][dispmath]t=y-\sqrt{y^2-1}[/dispmath]
[dispmath]a^x=y-\sqrt{y^2-1}[/dispmath][dispmath]x=\log_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=\log_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)[/dispmath][dispmath]x-\sqrt{x^2-1}>0[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2-1}<x[/dispmath]
[inlmath]x^2-1\ge0[/inlmath] i [inlmath]x>0[/inlmath]
Iz preseka šrafura dobijam [inlmath]x\ge1[/inlmath]
Konačno rešenje:
[dispmath]f^{-1}(x)=\log_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right),\;x\ge1[/dispmath] Moje pitanje je vezano za [inlmath]t=y\pm\sqrt{y^2-1}[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]t=y-\sqrt{y^2-1}[/inlmath] Zašto minus?Iz preseka šrafura dobijam [inlmath]x\ge1[/inlmath]
Konačno rešenje: