Stranica 1 od 1

Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Jun 2017, 00:59
od Bookface97
Funkcija glasi:
[dispmath]F(x)=(x+5)\cdot\left(x^2-x-6\right)[/dispmath] Trazi se sledece:
a) Naci nule funkcije i rastaviti na proste cinioce. Uradio
b) Naci ekstremne tacke funkcije. Uradio [inlmath]A\left(-\frac{11}{3},\frac{400}{27}\right)[/inlmath], [inlmath]B(1,-36)[/inlmath]
c) monotonost. Uradio
d) Naci jednacine tangenti grafika funkcije kojima pripada tacka [inlmath]N(-5,0)[/inlmath]

Ja dobijem samo jednu jednacinu tangente a ona glasi
[dispmath]Y=24\cdot(x+5)[/dispmath] dok oni dobiju ovu i jos dodatnu
[dispmath]Y=-\frac{25}{4}\cdot(x+5)[/dispmath] Kako oni dobiju i ovo resenje, trazio sam na forumu ali ne mogu da nadjem resenje koje bi mi bas pomoglo. Da li bi mogao neko da mi po koracima odradi kako nadju ovu drugu tangetnu. Bio bih mu jako zahvalan, Prijemni mi je za 2 dana.

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Jun 2017, 08:20
od Daniel
tangente.png
tangente.png (2.58 KiB) Pogledano 4042 puta

Tangentu obeleženu zeleno već si odredio. Potrebno je odrediti i tangentu obeleženu plavo, koja takođe prolazi kroz tačku [inlmath]N(-5,0)[/inlmath].
Odmah znaš da će ona takođe biti oblika [inlmath]y=k(x+5)[/inlmath]. Koeficijent [inlmath]k[/inlmath] odrediš iz uslova da ta tangenta i kriva funkcije, ne računajući tačku [inlmath]N(-5,0)[/inlmath] imaju tačno jednu zajedničku tačku, a to će odgovarati uslovu da u kvadratnoj jednačini koja će ti se pojaviti, diskriminanta bude jednaka nuli...

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Jun 2017, 16:19
od Bookface97
Hvala na odgovoru. I dalje mi nije jasno, gde treba da uvrstim [inlmath]Y=k(x+5)[/inlmath] ?
U prvi izvod ili bas u pocetnu funkciju? I umesto cega, gde mi je [inlmath]Y[/inlmath]? Skroz sam zbunjen oko ovog zadatka, nazalost.

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Jun 2017, 18:33
od matija
Dobijes [inlmath]k[/inlmath], kada ubacis [inlmath]N(-5,0)[/inlmath] u prvi izvod

edit1: i jednacina krive ako koristis prvi izvod bi ti bila [inlmath]y=kx+n[/inlmath] gde ce [inlmath]k=f'(x)[/inlmath] za tvoju funkciju

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Jun 2017, 19:09
od matija
Posto sam lose napisao post, ovako bi izgledalo resenje
[dispmath]f(x)=f'(x)(x+5)\iff(x+5)(x+2)(x-3)=\left(3x^2 +8x-11\right)(x+5)\iff\\
\iff x=5\;\lor\;2x^2+9x-5=0\iff x=5\;\lor\;x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Utorak, 27. Jun 2017, 07:49
od Bookface97
Hvala Vam! Skontao sam. Pozdrav.

Re: Ispitivanje funkcije – jednacina tangente

PostPoslato: Utorak, 27. Jun 2017, 11:03
od Daniel
matija je napisao:[dispmath]\cdots\iff x={\color{red}5}\;\lor\;2x^2+9x-5=0\iff x={\color{red}5}\;\lor\;x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Zapravo, umesto [inlmath]x=5[/inlmath] treba da stoji [inlmath]x=-5[/inlmath]. I to rešenje odbacujemo, jer to nije tačka dodira koju tražimo, već tačka preseka krive funkcije i prave koja predstavlja tangentu (da, tangenta u nekoj tački funkcije može seći tu istu funkciju u nekoj drugoj tački).

Ako nekom nije baš najjasniji Matijin postupak – krenuli smo od eksplicitnog oblika jednačine prave, [inlmath]y=kx+n[/inlmath], što je oblik za bilo koju pravu, a pošto je tangenta po svojoj prirodi prava, to i za nju mora važiti taj eksplicitni oblik jednačine. Pošto tangenta mora prolaziti kroz tačku [inlmath](-5,0)[/inlmath], uvrštavanjem [inlmath]x=-5[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath] u jednačinu [inlmath]y=kx+n[/inlmath], dobijemo [inlmath]0=-5k+n[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]n=5k[/inlmath], tj. da jednačina prave [inlmath]y=kx+n[/inlmath] postaje [inlmath]y=kx+5k[/inlmath], tj. [inlmath]y=k(x+5)[/inlmath].

Pošto je u pitanju tangenta na neku tačku funkcije, to znači da će njen koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] biti zapravo izvod funkcije u toj tački. Što znači da možemo pisati [inlmath]y=f'(x)(x+5)[/inlmath] (zapravo, korektnije bi bilo pisati [inlmath]y=f'(x_0)(x+5)[/inlmath], al' gledam da sad maksimalno uprostim). S druge strane, imamo i zadatu funkciju, [inlmath]y=f(x)[/inlmath]. Sad nam je cilj da odredimo zajedničku tačku funkcije i tangente na tu funkciju, a to postižemo izjednačavanjem desnih strana njihovih jednačina, tj. [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]f'(x)(x+5)[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]f(x)=f'(x)(x+5)[/inlmath].

Odatle se dobiju već napisana rešenja [inlmath]x=-5[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], međutim, kao što već napomenuh, samo će [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] predstavljati tačku dodira tangente i funkcije, budući da u [inlmath]x=-5[/inlmath] nemamo dodir već presek.

Iz ovoga se može naći i jednačina tangente, jer znamo da ista prolazi kroz tačke [inlmath](-5,0)[/inlmath] i [inlmath]\Bigl(\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}\right)\Bigr)[/inlmath].



A objašnjenje mog načina bi bilo da, nakon što sam odredio oblik koji mora imati jednačina tangente, a to je [inlmath]y=k(x+5)[/inlmath] (napisah već zašto), sad postavljam uslov da tangenta i kriva funkcije moraju imati tačno jednu zajedničku tačku, ne računajući tačku [inlmath]x=-5[/inlmath]. Jer, tačno jedna zajednička tačka to bi značilo tačka dodira, dok bi dve zajedničke tačke značile presek, a nula zajedničkih tačaka značilo bi da se mimoilaze. Dakle, imamo jednačinu tangente [inlmath]y=k(x+5)[/inlmath], imamo funkciju [inlmath]f(x)=(x+5)\cdot\left(x^2-x-6\right)[/inlmath] i izjednačimo desne strane radi nalaženja zajedničkih tačaka. Dobijemo
[dispmath]k(x+5)=(x+5)\cdot\left(x^2-x-6\right)[/dispmath] Pošto smo rekli da nas tačka [inlmath]x=-5[/inlmath] ne interesuje, jer to nije tačka dodira, skratimo faktore [inlmath](x+5)[/inlmath] na levoj i na desnoj strani:
[dispmath]k=x^2-x-6\\
x^2-x-(k+6)=0[/dispmath] I, kako bismo imali tačno jednu zajedničku tačku (tačku dodira), ova kvadratna jednačina mora imati tačno jedno rešenje. A to će se desiti onda kad joj je diskriminanta jednaka nuli:
[dispmath]D=1+4(k+6)=4k+25=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]k=-\frac{25}{4}[/inlmath], odakle sledi da je jednačina tražene tangente [inlmath]y=-\frac{25}{4}(x+5)[/inlmath].