Domen funkcije

PostPoslato: Utorak, 02. Januar 2018, 18:05
od Subject
Pozdrav.

Ako funkcija [inlmath]\ln x[/inlmath] vazi za [inlmath]x>0[/inlmath], ako umesto [inlmath]x[/inlmath] stavim recimo [inlmath]\cot^{-1}\left(\frac{x^3}{x^2+1}\right)[/inlmath], zasto je funkcija [inlmath]y=\ln\left(\cot^{-1}\left(\frac{x^3}{x^2+1}\right)\right)[/inlmath] definisana na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]?
Meni je nekako logicno bilo da ispitujem funkciju [inlmath]y[/inlmath] na domenu [inlmath](0,\infty)[/inlmath], ali posle kada sam zavrsio grafik i pogledao resenje, video sam da mi fali jedan deo.

Da li to znaci da ako u imeniocu umesto [inlmath]x^2+1[/inlmath], stavimo [inlmath]x^2-1[/inlmath], da funkcija nece biti definisana samo na [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]?
Interesuje me zasto je takav odnos [inlmath]\ln x[/inlmath] i trigonometrijskih funkcija? Da li ce drugaciji domen biti za [inlmath]\tan[/inlmath] ili [inlmath]\sin[/inlmath] umesto [inlmath]\cot^{-1}[/inlmath]?

Re: Domen funkcije

PostPoslato: Sreda, 03. Januar 2018, 02:22
od Daniel
Pretpostaviću da [inlmath]\cot^{-1}x[/inlmath] znači [inlmath]\text{arcctg }x[/inlmath] (ne izgleda mi baš verovatno da znači [inlmath]\frac{1}{\text{ctg }x}[/inlmath]).

Domen funkcije [inlmath]\text{arcctg }x[/inlmath] je skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (tj. definisana je za bilo koje realno [inlmath]x[/inlmath]), dok je njen kodomen interval [inlmath](0,\pi)[/inlmath], što znači da ne može dati ni negativnu, ni nultu vrednost, odakle sledi da će funkcija [inlmath]\ln\text{ctg }x[/inlmath] biti definisana za svako realno [inlmath]x[/inlmath].
Grafik funkcije [inlmath]\text{arcctg }x[/inlmath], sa kojeg se uočava i njen domen i njen kodomen, možeš videti pri kraju ovog posta.

Subject je napisao:Da li to znaci da ako u imeniocu umesto [inlmath]x^2+1[/inlmath], stavimo [inlmath]x^2-1[/inlmath], da funkcija nece biti definisana samo na [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]?

Tako je.

Subject je napisao:Da li ce drugaciji domen biti za [inlmath]\tan[/inlmath] ili [inlmath]\sin[/inlmath] umesto [inlmath]\cot^{-1}[/inlmath]?

Biće potpuno drugačiji domen. Funkcija [inlmath]\text{tg }x[/inlmath], kao što znaš, nije definisana za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] pa te tačke u startu ispadaju iz domena, dok takođe funkcija [inlmath]\ln(\text{tg }x)[/inlmath] neće biti definisana ni za sve one vrednosti za koje [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] ima negativnu vrednost ili je nula.
Za sinus slično – sâm sinus je definisan na celom skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], ali [inlmath]\ln(\sin x)[/inlmath] neće biti definisan za one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]\sin x[/inlmath] negativan ili je nula.