Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)
Poslato: Nedelja, 21. Januar 2018, 15:40
Zadatak glasi:
Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f(x)=(\tan x+\cot x)^2[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;2,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5,\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)}\;4,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]
Sada, ja sam razmišljao da pristupim ovom zadatku na nekoliko načina, prvi je bio taj da [inlmath]\cot x[/inlmath] zapišem kao [inlmath]\frac{1}{\tan x}[/inlmath], zatim odredim kvadrat binoma funkcije:
[dispmath]f(x)=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2[/dispmath] Uvedem smenu [inlmath]\tan x=t[/inlmath], zatim dobijam:
[dispmath]f(t)=t^2+\frac{1}{t^2}+2\;\Longrightarrow\;f(t)=t^2+t^{-2}+2[/dispmath] i onda pronađem prvi izvod te funkcije: [inlmath]f'(t)=2t-2t^{-3}[/inlmath], zatim iz toga:
[dispmath]2\left(t-\frac{1}{t^3}\right)=0\;\Longrightarrow\;t^4=1\;\Longrightarrow\;t=1[/dispmath] I na kraju vratim u početnu smenu [inlmath]f(t)=1+1+2=4[/inlmath]
Rešio sam zadatak dok sam kucao ovaj tekst Ali me i dalje zanima da li je ovakav način rada ispravan, ili sam slučajno pogodio tačno rešenje?
EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]
Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f(x)=(\tan x+\cot x)^2[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;2,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5,\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)}\;4,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]
Sada, ja sam razmišljao da pristupim ovom zadatku na nekoliko načina, prvi je bio taj da [inlmath]\cot x[/inlmath] zapišem kao [inlmath]\frac{1}{\tan x}[/inlmath], zatim odredim kvadrat binoma funkcije:
[dispmath]f(x)=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2[/dispmath] Uvedem smenu [inlmath]\tan x=t[/inlmath], zatim dobijam:
[dispmath]f(t)=t^2+\frac{1}{t^2}+2\;\Longrightarrow\;f(t)=t^2+t^{-2}+2[/dispmath] i onda pronađem prvi izvod te funkcije: [inlmath]f'(t)=2t-2t^{-3}[/inlmath], zatim iz toga:
[dispmath]2\left(t-\frac{1}{t^3}\right)=0\;\Longrightarrow\;t^4=1\;\Longrightarrow\;t=1[/dispmath] I na kraju vratim u početnu smenu [inlmath]f(t)=1+1+2=4[/inlmath]
Rešio sam zadatak dok sam kucao ovaj tekst Ali me i dalje zanima da li je ovakav način rada ispravan, ili sam slučajno pogodio tačno rešenje?
EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]