Stranica 1 od 1

Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

PostPoslato: Nedelja, 21. Januar 2018, 16:40
od Tinker
Zadatak glasi:

Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f(x)=(\tan x+\cot x)^2[/inlmath] je:

[inlmath]A)\;2,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5,\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)}\;4,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]

Sada, ja sam razmišljao da pristupim ovom zadatku na nekoliko načina, prvi je bio taj da [inlmath]\cot x[/inlmath] zapišem kao [inlmath]\frac{1}{\tan x}[/inlmath], zatim odredim kvadrat binoma funkcije:
[dispmath]f(x)=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2[/dispmath] Uvedem smenu [inlmath]\tan x=t[/inlmath], zatim dobijam:
[dispmath]f(t)=t^2+\frac{1}{t^2}+2\;\Longrightarrow\;f(t)=t^2+t^{-2}+2[/dispmath] i onda pronađem prvi izvod te funkcije: [inlmath]f'(t)=2t-2t^{-3}[/inlmath], zatim iz toga:
[dispmath]2\left(t-\frac{1}{t^3}\right)=0\;\Longrightarrow\;t^4=1\;\Longrightarrow\;t=1[/dispmath] I na kraju vratim u početnu smenu [inlmath]f(t)=1+1+2=4[/inlmath]

Rešio sam zadatak dok sam kucao ovaj tekst :D Ali me i dalje zanima da li je ovakav način rada ispravan, ili sam slučajno pogodio tačno rešenje?

EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

PostPoslato: Nedelja, 21. Januar 2018, 21:19
od bobanex
[dispmath]\left(\text{tg }x+\text{ctg }x\right)^2=\frac{4}{\sin^22x}[/dispmath] Odavde se isto može lako uočiti minimalna vrednost.

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

PostPoslato: Sreda, 24. Januar 2018, 20:34
od Daniel
Kada se radi preko smene [inlmath]f(x)=t[/inlmath], tada se mora uzeti u obzir kodomen funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i postaviti uslov da [inlmath]t[/inlmath] pripada tom kodomenu. U ovom slučaju nemaš taj problem, jer je za smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath] kodomen tangensa skup realnih brojeva pa je i [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath], ali da si imao npr. smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath], tada bi morao postaviti uslov [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath].

Druga stvar, izjednačavanjem prvog izvoda s nulom ti nalaziš samo lokalnu ekstremnu vrednost, u ovom slučaju lokalni mimimum (što takođe treba proveriti nalaženjem drugog izvoda), ali to ti ne garantuje da na nekom delu funkcija neće imati još manju vrednost od tog lokalnog minimuma (npr. ako ima kose asimptote). U principu, tu bi bilo najsigurnije ispitati i nacrtati grafik funkcije, tako da je ipak daleko lakše ovo rešenje koje je bobanex ponudio.

Tinker je napisao:EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

Zašto?

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

PostPoslato: Četvrtak, 25. Januar 2018, 03:53
od Tinker
Da, nisam razmišljao o tome, svakako hvala obojici na odgovorima :thumbup:

A inače, nisam ni primetio da sam napisao [inlmath]\frac {\pi}{4}[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], jer tangens uopšte nije definisan na intervalu [inlmath]\frac{\pi}{2} + k\pi[/inlmath] :facepalm: