Stranica 1 od 1

Granicna vrednost funkcije

PostPoslato: Ponedeljak, 11. Jun 2018, 19:29
od bithahfag
Dobar dan svima,
Imam problem sa jos jednim zadatkom (vise sa resenjem) zadatak glasi:
zad. Da li postoje konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=0?[/dispmath] Ja sam ovaj zadatak resila na sledeci nacin:
Resenje: Najpre racionalisemo:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\sqrt{8x^2+6x+2018}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2+\left(2018-\frac{9}{16}\right)}}+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2}}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\left|\sqrt2\left(2x+\frac{3}{4}\right)\right|+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{-\sqrt22x-\sqrt2\frac{3}{4}+ax+b}[/dispmath] Ukoliko bi stepen u brojiocu bio veci ili jednak od stepena u imeniocu (stepen=najveci stepen broja [inlmath]x[/inlmath]) ne bi bilo jednako [inlmath]0[/inlmath] [inlmath]\;\Longrightarrow\;[/inlmath] stepen u imeniocu je veci od stepena u brojiocu! Znaci
[dispmath]8-a^2=0\;\Longrightarrow\;a=\pm2\sqrt2\\
6-2ab=0\;\Longrightarrow\;b=\pm\frac{2\sqrt2}{6}\\
a-2\sqrt2\ne0\;\Longrightarrow\;a=-2\sqrt2\;\Longrightarrow\;b=-\frac{2\sqrt2}{6}[/dispmath] Stvari za koje nisam sigurna (da je dozvoljeno uraditi) su da li iz prvog 'zaokruzenog' dela smemo preci u drugi 'zaokruzeni' deo.
Druga stvar je vezana za ovaj komentar na kraju kada sam napisala da je jedino moguce da ovaj limes bude [inlmath]0[/inlmath] ako je stepen brojioca[inlmath]<[/inlmath]stepen imenioca. Hvala unapred!
P.S. Izvinjavam se ako je ovaj post mnogo ducak ili konfuzan :unsure: .Takodje nadam se da je sve dobro postavljeno posto sam prvi put ovde. :D

Re: Granicna vrednost funkcije

PostPoslato: Ponedeljak, 11. Jun 2018, 22:07
od Corba248
Ja bih ovde prvo prebacio [inlmath]b[/inlmath] na desnu stranu (što smemo učiniti zbog linearnosti limesa), pa bih onda tražio odgovarajuće [inlmath]a[/inlmath].
Pre samog početka rešavanja jasno je da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti pozitivan broj (jer [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]-\infty[/inlmath], pa bi ceo limes otišao u [inlmath]+\infty[/inlmath]). Mislim da je umesto racionalisanja (ako ovo uopšte smemo tako nazvati :), jer je naredni izraz još "iracionalniji" od prethodnog) bolje uraditi na sledeći način:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2\left(8+\frac{6}{x}+\frac{2018}{x^2}\right)}-ax\right)=\\
=\lim_{x\to-\infty}\left(|x|\sqrt{8+\frac{6}{x}+\frac{2018}{x^2}}-ax\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(-x\sqrt{8+\frac{6}{x}+\frac{2018}{x^2}}-ax\right)=\\
=-\lim_{x\to-\infty}x\left(a+\sqrt{8+\frac{6}{x}+\frac{2018}{x^2}}\right)=b[/dispmath] Ostatak ostavljam tebi, ja dobijam [inlmath]a=-2\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]b=-\frac{3}{2\sqrt2}[/inlmath].

Re: Granicna vrednost funkcije

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 07:00
od bithahfag
:D Mnogo ti hvala!

Re: Granicna vrednost funkcije

PostPoslato: Četvrtak, 21. Jun 2018, 01:26
od Daniel
@bithahfag, tvoj način jeste teži (lepši način ti je pokazao Corba248), al' kad si već pokazala taj način haj'mo da analiziramo i njega...
bithahfag je napisao:[dispmath]\cdots=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\sqrt{8x^2+6x+2018}+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2+\left(2018-\frac{9}{\color{red}16}\right)}}+ax+b}=\cdots[/dispmath]

Ovo crveno je greška, umesto [inlmath]\frac{9}{16}[/inlmath] treba [inlmath]\frac{9}{8}[/inlmath]. Mada ta greška i ne utiče na rezultat, jer se taj sabirak u daljem postupku ionako gubi.

Ali, grešku si napravila pri računanju [inlmath]b[/inlmath]:
bithahfag je napisao:[dispmath]8-a^2=0\;\Longrightarrow\;a=\pm2\sqrt2\\
6-2ab=0\;\Longrightarrow\;b=\pm{\color{red}\frac{2\sqrt2}{6}}[/dispmath]

[dispmath]6-2ab=0\;\Longrightarrow\;ab=3\;\Longrightarrow\;b=\frac{3}{a}=-\frac{3}{2\sqrt2}=-\frac{3\sqrt2}{4}[/dispmath]
bithahfag je napisao:Stvari za koje nisam sigurna (da je dozvoljeno uraditi) su da li iz prvog 'zaokruzenog' dela smemo preci u drugi 'zaokruzeni' deo.

Intuitivno je jasno da sabirak [inlmath]\left(2018-\frac{9}{8}\right)[/inlmath] može da se zanemari, budući da je on konačan, u poređenju sa sabirkom [inlmath]2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2[/inlmath] koji teži beskonačnosti. Al' može se to i postupno izvesti, tako što se brojilac i imenilac podele sa [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(8-a^2\right)+(6-2ab)+\frac{2018-b^2}{x}}{-\sqrt{2\left(2+\frac{3}{4x}\right)^2+\frac{2018-\frac{9}{8}}{x^2}}+a+\frac{b}{x}}[/dispmath] Sada je očiglednije da i taj sabirak, ali i neki drugi sabirci, teže nuli.

bithahfag je napisao:Druga stvar je vezana za ovaj komentar na kraju kada sam napisala da je jedino moguce da ovaj limes bude [inlmath]0[/inlmath] ako je stepen brojioca[inlmath]<[/inlmath]stepen imenioca.

Da, to važi kada [inlmath]x[/inlmath] teži pozitivnoj ili negativnoj beskonačnosti (kao što ovde jeste slučaj). Tada imenilac, pošto je većeg stepena, brže teži beskonačnosti nego brojilac koji „zaostaje“ za njim – pa ceo razlomak teži nuli.
Da su polinomi u brojiocu i imeniocu istog stepena, tada bismo, deljenjem i brojioca i imenioca najvećim stepenom, dobili i u brojiocu i imeniocu konstante različite od nule, dok bi ostali sabirci težili nuli, pa bi i vrednost razlomka bila konstanta različita od nule.
A da je u brojiocu veći stepen nego u imeniocu, tada bismo imali obrnutu situaciju nego u prvom slučaju – brojilac bi težio beskonačnosti brže nego imenilac, pa bi ceo razlomak težio nekoj beskonačnosti (pozitivnoj ili negativnoj).