Granicna vrednost funkcije
Poslato: Ponedeljak, 11. Jun 2018, 19:29
Dobar dan svima,
Imam problem sa jos jednim zadatkom (vise sa resenjem) zadatak glasi:
zad. Da li postoje konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=0?[/dispmath] Ja sam ovaj zadatak resila na sledeci nacin:
Resenje: Najpre racionalisemo:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\sqrt{8x^2+6x+2018}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2+\left(2018-\frac{9}{16}\right)}}+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2}}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\left|\sqrt2\left(2x+\frac{3}{4}\right)\right|+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{-\sqrt22x-\sqrt2\frac{3}{4}+ax+b}[/dispmath] Ukoliko bi stepen u brojiocu bio veci ili jednak od stepena u imeniocu (stepen=najveci stepen broja [inlmath]x[/inlmath]) ne bi bilo jednako [inlmath]0[/inlmath] [inlmath]\;\Longrightarrow\;[/inlmath] stepen u imeniocu je veci od stepena u brojiocu! Znaci
[dispmath]8-a^2=0\;\Longrightarrow\;a=\pm2\sqrt2\\
6-2ab=0\;\Longrightarrow\;b=\pm\frac{2\sqrt2}{6}\\
a-2\sqrt2\ne0\;\Longrightarrow\;a=-2\sqrt2\;\Longrightarrow\;b=-\frac{2\sqrt2}{6}[/dispmath] Stvari za koje nisam sigurna (da je dozvoljeno uraditi) su da li iz prvog 'zaokruzenog' dela smemo preci u drugi 'zaokruzeni' deo.
Druga stvar je vezana za ovaj komentar na kraju kada sam napisala da je jedino moguce da ovaj limes bude [inlmath]0[/inlmath] ako je stepen brojioca[inlmath]<[/inlmath]stepen imenioca. Hvala unapred!
P.S. Izvinjavam se ako je ovaj post mnogo ducak ili konfuzan .Takodje nadam se da je sve dobro postavljeno posto sam prvi put ovde.
Imam problem sa jos jednim zadatkom (vise sa resenjem) zadatak glasi:
zad. Da li postoje konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=0?[/dispmath] Ja sam ovaj zadatak resila na sledeci nacin:
Resenje: Najpre racionalisemo:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\sqrt{8x^2+6x+2018}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2+\left(2018-\frac{9}{16}\right)}}+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2}}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\left|\sqrt2\left(2x+\frac{3}{4}\right)\right|+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{-\sqrt22x-\sqrt2\frac{3}{4}+ax+b}[/dispmath] Ukoliko bi stepen u brojiocu bio veci ili jednak od stepena u imeniocu (stepen=najveci stepen broja [inlmath]x[/inlmath]) ne bi bilo jednako [inlmath]0[/inlmath] [inlmath]\;\Longrightarrow\;[/inlmath] stepen u imeniocu je veci od stepena u brojiocu! Znaci
[dispmath]8-a^2=0\;\Longrightarrow\;a=\pm2\sqrt2\\
6-2ab=0\;\Longrightarrow\;b=\pm\frac{2\sqrt2}{6}\\
a-2\sqrt2\ne0\;\Longrightarrow\;a=-2\sqrt2\;\Longrightarrow\;b=-\frac{2\sqrt2}{6}[/dispmath] Stvari za koje nisam sigurna (da je dozvoljeno uraditi) su da li iz prvog 'zaokruzenog' dela smemo preci u drugi 'zaokruzeni' deo.
Druga stvar je vezana za ovaj komentar na kraju kada sam napisala da je jedino moguce da ovaj limes bude [inlmath]0[/inlmath] ako je stepen brojioca[inlmath]<[/inlmath]stepen imenioca. Hvala unapred!
P.S. Izvinjavam se ako je ovaj post mnogo ducak ili konfuzan .Takodje nadam se da je sve dobro postavljeno posto sam prvi put ovde.