Zadatak glasi: Odrediti inverznu funkciju [inlmath]f^{-1}[/inlmath] funkcije [inlmath]f(x)=\frac{2}{1-2\cos x}[/inlmath]. Ja sam ga rešio ovako:
[dispmath]f^{-1}\left(\frac{2}{1-2\cos x}\right)=x\\
t=\frac{2}{1-2\cos x}\\
\cos x=\frac{t-2}{2t}[/dispmath] Odavde mi je malo teže da ocenim koji su rezultati za [inlmath]x[/inlmath], ali pošto funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ima na osnovnom periodu [inlmath]4[/inlmath] monotone grane, ja mislim da postoji više inverznih funkcija, ako uzmemo različite grane, pa tako:
[dispmath]\left(0\le\frac{t-2}{2t}\le1\;\Longrightarrow\;t\le-2\lor t\ge2\right)\\
x=\arccos\frac{t-2}{2t}\;\lor\;x=-\arccos\frac{t-2}{2t}[/dispmath]
[dispmath]\left(-1\le\frac{t-2}{2t}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2}{3}\le t\le2\right)\\
x=\pi-\arccos\left|\frac{t-2}{2t}\right|\;\lor\;x=\arccos\left|\frac{t-2}{2t}\right|-\pi[/dispmath] Dakle, prema tome bi trebalo da postoje [inlmath]4[/inlmath] inverzne funkcije:
[dispmath](x\le-2\;\lor\;x\ge2)f^{-1}(x)=\arccos\frac{x-2}{2x},\;f^{-1}(x)=-\arccos\frac{x-2}{2x}\\
\left(\frac{2}{3}\le x\le2\right)f^{-1}(x)=\pi-\arccos\left|\frac{x-2}{2x}\right|,\;f^{-1}(x)=\arccos\left|\frac{x-2}{2x}\right|-\pi[/dispmath] E sad, samo me zanima da li je ovo tačno, pošto nemam rešenje? Hvala puno na odgovoru