Malo je teže naći kontraprimer na konačnom skupu za dato tvrđenje (čak mislim da je i nemoguće).
Jovan111 je napisao:Pokazaću još jedan primer - neka su:
[dispmath]f\colon x\mapsto\begin{cases}
x+5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath][dispmath]g\colon x\mapsto\begin{cases}
x-5, & \text{ako je }x\ge0;\\
x, & \text{ako je }x<0.
\end{cases}[/dispmath] Ovde opet imamo primer da [inlmath]f[/inlmath] nije surjekcija (uzmimo samo elemente 1, 2, 3, 4 koji nisu u kodomenu, jer njih ne možemo dobiti preslikavanjem [inlmath]f(x)[/inlmath]), ...
U ovom primeru se sve vidi. Ako želiš pokušaj i "slikom" da predstaviš ovo što ću sada reći. Po meni moramo uzeti beskonačan skup da bismo ovo dokazali (ja ne mogu da se setim nekog primera sa konačnim skupom) kakav je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] na kom su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] bile definisane u našem primeru.
[inlmath]1^\circ[/inlmath] slučaj
U slučaju kada uzmemo [inlmath]x\ge0[/inlmath], to jest [inlmath]x\in\{0,1,2,3,\ldots\}[/inlmath] tada se [inlmath]f[/inlmath] slika u [inlmath]x+5[/inlmath], tj. [inlmath]\{5,6,7,\ldots\}[/inlmath]. Tada funkcija [inlmath]g[/inlmath] uzima za svoj domen kodomen funkcije [inlmath]f[/inlmath] (to moraš znati), tj. skup [inlmath]\{5,6,7,\ldots\}[/inlmath] i pošto su ti brojevi [inlmath]x\ge0[/inlmath], onda ih slika u [inlmath]x-5[/inlmath], to jest [inlmath]\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath].
[dispmath]f\colon\{0,1,2,3,\ldots\}\to\{5,6,7,8,\ldots\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{0,1,2,3,\ldots\}\to\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/dispmath] [inlmath]2^\circ[/inlmath] slučaj
Kada je [inlmath]x<0[/inlmath], to jest [inlmath]x\in\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath] onda se [inlmath]f[/inlmath] slika u [inlmath]x[/inlmath], tj. [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath]. Tada je [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath] ujedno domen funkcije [inlmath]g[/inlmath] koja se slika (pošto su u domenu negativni brojevi) u [inlmath]x[/inlmath], odnosno [inlmath]\{\ldots,-3,-2,-1\}[/inlmath].
[dispmath]f\colon\{\ldots,-3,-2,-1\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{\ldots,-3,-2,-1\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}[/dispmath] Primetimo kako funkcija [inlmath]f[/inlmath] nije imala u svom kodomenu brojeve [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath] za slike, ali je ipak kompozicija imala svaki broj iz [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] za sliku. Na kraju, ako zamisliš sliku za oba slučaja zaista možeš doći do zaključka (kada spojimo oba slučaja) da [inlmath]f[/inlmath] nije "na", ali kompozicija [inlmath]g\circ f[/inlmath] jeste.
[dispmath]f\colon\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\to\{\ldots,-3,-2,-1\}\cup\{5,6,7,8,\ldots\}[/dispmath][dispmath]g\circ f\colon\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\to\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}[/dispmath]
Vv123 je napisao:Inace, da li je moguce ovakve tipove zadataka resavati samo uz pomoc slike, ili se moraju nalaziti neki kontraprimeri?
Sve zavisi od tvog predmetnog profesora. Inače ne bi bilo priznato. Slika ti samo pomaže da stekneš vizelnu predstavu zašto je nešto takvo, a dokaz se obično zahteva da se izvede iz formalnih definicija.