Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Jovan111 » Sreda, 20. Februar 2019, 13:42

Prijemni ispit ETF - 25. jun 2018.
15. zadatak


Data je funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha\in\mathbb{R}[/inlmath]. Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] takvih da funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima bar jednu realnu nulu i za koje važi [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] za svako [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Tada je skup [inlmath]S[/inlmath] jednak:

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right]}[/inlmath]


Kvadratna funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath] je konveksna i imaće bar jednu realnu nulu ako je diskriminanta ove kvadratne funkcije veća ili jednaka nuli:
[dispmath]D=(-2\alpha)^2-4\cdot\left(\alpha^2+2\alpha-8\right)\ge0[/dispmath][dispmath]32-8\alpha\ge0\iff\alpha\le4[/dispmath] Ako je funkcija [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] u ekstremnim tačkama intervala [inlmath]x\in[0,3][/inlmath] i ako se minimum funkcije ne nalazi u ovom intervalu, onda će vrednost funkcije biti veća ili jednaka nuli na čitavom intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath].
[dispmath]f(0)\ge0:\enspace\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/dispmath][dispmath]f(3)\ge0:\enspace9-6\alpha+\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha^2-4\alpha+1\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,2-\sqrt3\right]\cup\left[2+\sqrt3,+\infty\right)[/dispmath] Uzimajući u obzir prethodna tri intervala za [inlmath]\alpha[/inlmath], nalaženjem njihovog preseka konačno imamo: [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], što je i interval u rešenju, međutim kako je jedan od ponuđenih odgovora bio da "nijedan od ponuđenih odgovora" nije tačan, moramo proveriti i poslednji uslov (koji smo pomenuli), a to je da se minimum funkcije ne sme nalaziti u intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Minimum funkcije se dobija u tački [inlmath]x_0[/inlmath] za koju je [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath].
[dispmath]f'(x)=2x-2\alpha[/dispmath][dispmath]f'(x_0)=0\iff2x_0-2\alpha=0\iff x_0=\alpha[/dispmath] Kako je [inlmath]x_0=\alpha\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to jest [inlmath]x_0=\alpha\le-4\;\lor\;x_0=\alpha\in\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to se tačka [inlmath]x_0[/inlmath] ne nalazi u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath], te je funkcija za iznad navedene vrednosti parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] uvek nenegativna.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Sreda, 20. Februar 2019, 17:19

Drugi način bi bio, pored postavljanja uslova [inlmath]D\ge0[/inlmath], postaviti uslov [inlmath]x_1\ge3\;\lor\;x_2\le0[/inlmath], gde je [inlmath]x_1\le x_2[/inlmath].
Iz [inlmath]x_1\ge3[/inlmath] dobija se [inlmath]\alpha\in[2+\sqrt3,4][/inlmath], a iz [inlmath]x_2\le0[/inlmath] dobija se [inlmath]\alpha\in(-\infty,-4][/inlmath]. Unija ova dva skupa rešenja je [inlmath]\alpha\in(-\infty,-4]\cup[2+\sqrt3,4][/inlmath].
Presek ove unije rešenja s uslovom nenegativnosti diskriminante ([inlmath]\alpha\le4[/inlmath]) biće upravo ta unija rešenja, tj. [inlmath]\alpha\in(-\infty,2-\sqrt3]\cup[2,4][/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod bobanex » Sreda, 20. Februar 2019, 20:09

Da li je autor ove teme samostalno rešio ovaj zadatak ili ga je od nekoga prepisao?
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta

  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Jovan111 » Sreda, 20. Februar 2019, 23:35

Veći deo zadatka uradio sam samostalno, ali ne u celosti (konkretno ovaj deo u kome nisam obratio pažnju na mimimum funkcije), te sam se konsultovao sa zbirkom koju mi je dao moj profesor, ali ne vidim zašto je to toliko bitno da je vredno diskutovanja o tome; ipak, voljan sam da Vam odgovorim, iako ovo nema veze sa temom ili zadatkom.

Moja ideja je bila da zadatke koje rešavam, a koji mi se učine teškim (pošto se sada pripremam za prijemni ispit, što možda možete pretpostaviti) ili koje ne uspem da rešim u celosti ili delom, a nađem rešenje van foruma (u zbirci, na internetu, od prijatelja, profesora i sl.) podelim sa drugima u želji da njima olakšam da dođu do rešenja (skroz u skladu sa tačkom [inlmath]7[/inlmath]. pravilnika)... Jedino što Vama može zasmetati jeste što sam se trudio pri kucanju rešenja da se držim zbirke zbog doslednosti i terminologije, ali ne vidim da sam time povredio neko pravilo ovog foruma :unsure:
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

  • +1

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Četvrtak, 21. Februar 2019, 23:59

@bobanex, nisam ni ja baš razumeo tvoje pitanje, pa ako bi mogao da pojasniš na šta si tačno mislio?

(BTW kad se nekom obraćaš, učtivost nalaže da mu se obraćaš u drugom, a ne u trećem licu.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod DraganKese » Sreda, 19. Jun 2019, 11:20

Sto se tice zadatka, zasto se za skup [inlmath]S[/inlmath] ne uzima unija vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath] nego se uzima presek. Po mojoj logici resenje bi bilo [inlmath]\left(-\infty,\;2-\sqrt3\right]\cup[2,4][/inlmath]
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Jovan111 » Sreda, 19. Jun 2019, 14:37

Samo bih ispravio tvoju tvrdnju, jer je [inlmath]S[/inlmath] skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] za koje su ispunjeni zadatkom zadati uslovi. Takođe, ne bih baš rekao da si dobro odredio uniju, ali nema ni veze... Uzima se presek jer funkcija mora da ima bar jednu realnu nulu i da važi [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] za svako [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Upravo je u slovu "i" velika razlika, jer da je bilo "ili" onda bismo koristili uniju. Naime, da bi važila oba uslova moramo naći presek vrednosti za [inlmath]\alpha[/inlmath] koje ispunjavaju prvi i vrednosti za [inlmath]\alpha[/inlmath] koje ispunjavaju drugi uslov, jer se može desiti da neke od vrednosti koje ispunjavaju prvi uslov ne ispunjavaju drugi (i/ili obrnuto).

Ako me pitaš zašto mora biti [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] i na jednoj i na drugoj granici intervala - zamisli da je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] u jednoj granici (recimo za [inlmath]x=0[/inlmath]) i da se potom (pošto je parabola konveksna) funkcija proteže ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose duž intervala [inlmath]x\in(0,3][/inlmath] - to je hipotetička situacija koju moraš uzeti u obzir, jer ako bi postojale vrednosti za [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/inlmath] za koje [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] važi samo na prvoj granici intervala, onda bi se mogla desiti situacija koju sam opisao. Tu dolazimo i do toga zašto minimum ne sme biti u intervalu - mogla bi postojati hipotetička situacija da postoji [inlmath]\alpha[/inlmath] za koje je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] u obe granice, to jest za vrednosti [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath] imali bismo nule funkcije ;)



Zamisli da ti je rečeno da mora neko realno [inlmath]k[/inlmath] da bude veće od [inlmath]3[/inlmath] i veće od [inlmath]5[/inlmath]. Da li bi ti rešenje bilo unija ovih vrednosti, to jest [inlmath]k>3[/inlmath] - očigledno ne bi, jer (na primer) broj [inlmath]4[/inlmath] ne bi zadovoljio drugi uslov, a mora da važi jedan i drugi.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Četvrtak, 20. Jun 2019, 00:47

Jovan111 je napisao:Tu dolazimo i do toga zašto minimum ne sme biti u intervalu - mogla bi postojati hipotetička situacija da postoji [inlmath]\alpha[/inlmath] za koje je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] u obe granice, to jest za vrednosti [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath] imali bismo nule funkcije ;)

Mislim da smo ovime izostavili jedan mogući slučaj, a to je da se minimum upravo nalazi u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath] a da minimum parabole dodiruje [inlmath]x[/inlmath]-osu (jer je uslovom zadatka dopuštena mogućnost da funkcija ima samo jednu realnu nulu). Tada bi takođe vrednost funkcije u celom intervalu bila [inlmath]\ge0[/inlmath] (bila bi jednaka nuli u tački dodira s [inlmath]x[/inlmath]-osom, a u ostalim tačkama intervala (a bogami i van intervala) bila bi pozitivna).

U ovom konkretnom zadatku, ukoliko bi funkcija imala samo jednu realnu nulu, minimum bi bio van intervala [inlmath][0,3][/inlmath] (bio bi u tački [inlmath]x=4[/inlmath]), tako da se u ovom zadatku dobija ispravno rešenje, ali u nekom opštijem slučaju valjalo bi imati na umu i ovu mogućnost.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.

Postod DraganKese » Subota, 22. Jun 2019, 10:21

Hvala vam, greska je bila sto sam pogresno gledao vrednosti, a svestan sam toga da kad postoji vise uslova gde je veznik "i" treba da se trazi presek.
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 20. Februar 2020, 21:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs