Funkcija s parametrom – prijemni ETF 2018.
Poslato: Sreda, 20. Februar 2019, 13:42
Prijemni ispit ETF - 25. jun 2018.
15. zadatak
Kvadratna funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath] je konveksna i imaće bar jednu realnu nulu ako je diskriminanta ove kvadratne funkcije veća ili jednaka nuli:
[dispmath]D=(-2\alpha)^2-4\cdot\left(\alpha^2+2\alpha-8\right)\ge0[/dispmath][dispmath]32-8\alpha\ge0\iff\alpha\le4[/dispmath] Ako je funkcija [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] u ekstremnim tačkama intervala [inlmath]x\in[0,3][/inlmath] i ako se minimum funkcije ne nalazi u ovom intervalu, onda će vrednost funkcije biti veća ili jednaka nuli na čitavom intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath].
[dispmath]f(0)\ge0:\enspace\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/dispmath][dispmath]f(3)\ge0:\enspace9-6\alpha+\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha^2-4\alpha+1\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,2-\sqrt3\right]\cup\left[2+\sqrt3,+\infty\right)[/dispmath] Uzimajući u obzir prethodna tri intervala za [inlmath]\alpha[/inlmath], nalaženjem njihovog preseka konačno imamo: [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], što je i interval u rešenju, međutim kako je jedan od ponuđenih odgovora bio da "nijedan od ponuđenih odgovora" nije tačan, moramo proveriti i poslednji uslov (koji smo pomenuli), a to je da se minimum funkcije ne sme nalaziti u intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Minimum funkcije se dobija u tački [inlmath]x_0[/inlmath] za koju je [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath].
[dispmath]f'(x)=2x-2\alpha[/dispmath][dispmath]f'(x_0)=0\iff2x_0-2\alpha=0\iff x_0=\alpha[/dispmath] Kako je [inlmath]x_0=\alpha\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to jest [inlmath]x_0=\alpha\le-4\;\lor\;x_0=\alpha\in\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to se tačka [inlmath]x_0[/inlmath] ne nalazi u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath], te je funkcija za iznad navedene vrednosti parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] uvek nenegativna.
15. zadatak
Data je funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha\in\mathbb{R}[/inlmath]. Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] takvih da funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima bar jednu realnu nulu i za koje važi [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] za svako [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Tada je skup [inlmath]S[/inlmath] jednak:
Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right]}[/inlmath]
Kvadratna funkcija [inlmath]f(x)=x^2−2\alpha x+\alpha^2+2\alpha−8[/inlmath] je konveksna i imaće bar jednu realnu nulu ako je diskriminanta ove kvadratne funkcije veća ili jednaka nuli:
[dispmath]D=(-2\alpha)^2-4\cdot\left(\alpha^2+2\alpha-8\right)\ge0[/dispmath][dispmath]32-8\alpha\ge0\iff\alpha\le4[/dispmath] Ako je funkcija [inlmath]f(x)\ge0[/inlmath] u ekstremnim tačkama intervala [inlmath]x\in[0,3][/inlmath] i ako se minimum funkcije ne nalazi u ovom intervalu, onda će vrednost funkcije biti veća ili jednaka nuli na čitavom intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath].
[dispmath]f(0)\ge0:\enspace\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/dispmath][dispmath]f(3)\ge0:\enspace9-6\alpha+\alpha^2+2\alpha-8\ge0\iff\alpha^2-4\alpha+1\ge0\iff\alpha\in\left(-\infty,2-\sqrt3\right]\cup\left[2+\sqrt3,+\infty\right)[/dispmath] Uzimajući u obzir prethodna tri intervala za [inlmath]\alpha[/inlmath], nalaženjem njihovog preseka konačno imamo: [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], što je i interval u rešenju, međutim kako je jedan od ponuđenih odgovora bio da "nijedan od ponuđenih odgovora" nije tačan, moramo proveriti i poslednji uslov (koji smo pomenuli), a to je da se minimum funkcije ne sme nalaziti u intervalu [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]. Minimum funkcije se dobija u tački [inlmath]x_0[/inlmath] za koju je [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath].
[dispmath]f'(x)=2x-2\alpha[/dispmath][dispmath]f'(x_0)=0\iff2x_0-2\alpha=0\iff x_0=\alpha[/dispmath] Kako je [inlmath]x_0=\alpha\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to jest [inlmath]x_0=\alpha\le-4\;\lor\;x_0=\alpha\in\left[2+\sqrt3,4\right][/inlmath], to se tačka [inlmath]x_0[/inlmath] ne nalazi u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath], te je funkcija za iznad navedene vrednosti parametra [inlmath]\alpha[/inlmath] uvek nenegativna.