Ispitati tacnost sledeceg tvrdjenja, a potom dokazati ili opovrgnuti.
Za svaku funkciju [inlmath]f: X \rightarrow Y[/inlmath] vazi:
[inlmath]f[/inlmath] je [inlmath]"1-1"[/inlmath] akko za sve [inlmath]A,
B \subseteq X[/inlmath] vazi [inlmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath].
Pretpostavimo da [inlmath]f[/inlmath] nije [inlmath]"1-1"[/inlmath]. Tada imamo:[dispmath]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 \ne x_2[/dispmath]
Uzmimo da je: [inlmath]A=\{x_1\}, B=\{x_2\}[/inlmath]
Tada je:[dispmath]f[A] = \{f(x_1)\},\ f[B] = \{f(x_2)\}[/dispmath]
Kako je:[dispmath]\{f(x_1)\}=\{f(x_2)\}[/dispmath]
[dispmath]f[A]\ \Delta\ f[B] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]A \cup B = \{x_1, x_2\}[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/dispmath]
Zakljucak: iz pretpostavke da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath] funkcija dobijam da je tvrdjenje tacno, a ocekivala sam da dobijem neku kontradikciju. Iz te kontradikcije bih zakljucila da jedan smer ekvivalencije vazi, a ovako sledi da tvrdjenje ne vazi ako je funkcija [inlmath]"1-1"[/inlmath], sto nije tacno. Da li mi neko moze reci gde gresim?