Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Dokazati da tvrdjenje vazi ako je funkcija injekcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Dokazati da tvrdjenje vazi ako je funkcija injekcija

Postod Vv123 » Nedelja, 17. Mart 2019, 20:56

Ispitati tacnost sledeceg tvrdjenja, a potom dokazati ili opovrgnuti.

Za svaku funkciju [inlmath]f: X \rightarrow Y[/inlmath] vazi:
[inlmath]f[/inlmath] je [inlmath]"1-1"[/inlmath] akko za sve [inlmath]A,
B \subseteq X[/inlmath] vazi [inlmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath].

Pretpostavimo da [inlmath]f[/inlmath] nije [inlmath]"1-1"[/inlmath]. Tada imamo:[dispmath]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 \ne x_2[/dispmath]
Uzmimo da je: [inlmath]A=\{x_1\}, B=\{x_2\}[/inlmath]
Tada je:[dispmath]f[A] = \{f(x_1)\},\ f[B] = \{f(x_2)\}[/dispmath]
Kako je:[dispmath]\{f(x_1)\}=\{f(x_2)\}[/dispmath]
[dispmath]f[A]\ \Delta\ f[B] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]A \cup B = \{x_1, x_2\}[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/dispmath]

Zakljucak: iz pretpostavke da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath] funkcija dobijam da je tvrdjenje tacno, a ocekivala sam da dobijem neku kontradikciju. Iz te kontradikcije bih zakljucila da jedan smer ekvivalencije vazi, a ovako sledi da tvrdjenje ne vazi ako je funkcija [inlmath]"1-1"[/inlmath], sto nije tacno. Da li mi neko moze reci gde gresim?
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati da tvrdjenje vazi ako je funkcija injekcija

Postod Onomatopeja » Utorak, 19. Mart 2019, 22:06

Negacija od [inlmath](\forall A,B\subseteq X)\,\, f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath] je [inlmath](\exists A,B \subseteq X)\,\, f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \not\subseteq A \cup B[/inlmath]. Takodje, prikladnije je reci: postoje [inlmath]x_1,x_2 \in X[/inlmath] takvi da je [inlmath]f(x_1)=f(x_2)[/inlmath] i [inlmath]x_1\neq x_2,[/inlmath] umesto toga sto si i napisao (sto u opstem slucaju nije ni tacno).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Dokazati da tvrdjenje vazi ako je funkcija injekcija

Postod Vv123 » Sreda, 20. Mart 2019, 15:41

Slazem se da sam to mogla preciznije reci: ako pretpostavimo da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath] onda postoje [inlmath]x_1, x_2 \in X[/inlmath] takvi da je [inlmath]f(x_1) = f(x_2)[/inlmath] i [inlmath]x_1 \ne x_2[/inlmath]. Jasno mi je da je ovo [inlmath](\exists A, B \subseteq X) \ f^{-1}[f[A] \ \Delta \ f[B]] \not \subseteq A \cup B[/inlmath] negacija onog gore izraza. Ali meni nije bas najjasnije kako mogu da pokazem da je to tvrdjenje istinito. Pokusala sam pretpostavkom da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath]. Ali tom pretpostavkom sam dobila da taj izraz vazi i ako funkcija nije injekcija. A tvrdjenje kaze: ako je funkcija injekcija, to tvrdjenje vazi, slicno, i u drugom smeru, taj izraz vazi ako je funkcija injekcija (odnosno, iz pretpostavke da izraz vazi, treba da zakljucimo da funkcija mora biti [inlmath]"1-1"[/inlmath]).
Onako kako sam ja suprotno pretpostavila i izabrala skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], dobila sam da je [inlmath]f^{-1}[f[ \ A \ ] \ \Delta \ f[ \ B \ ]] = \emptyset[/inlmath], a s druge strane [inlmath]A \cup B = \{x_1, x_2 \}[/inlmath]. Kako je prazan skup podskup bilo kog skupa, onda izraz [inlmath]f^{-1}[f[A] \ \Delta \ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath] vazi za svaku funkciju, a ne samo onu koja je injekcija. Dakle, ja sam u pretpostavci napravila skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takve da su njihove slike [inlmath]f[A][/inlmath] i [inlmath]f[B][/inlmath] jednake i ispalo je da ce i u tom slucaju dati izraz vaziti. A prema tvrdjenju taj izraz ne moze vaziti, jer ta funkcija koju sam ja napravila slika razlicite elemente domena u isti element kodomena, a takva funkcija ne moze biti [inlmath]"1-1"[/inlmath].
Ocito da nesto pogresno radim i zakljucujem, ili mi pak pretpostavke nisu dobre. A mozda bih mogla na neki drugi nacin da ispitam ili cak dokazem da ovo tvrdjenje vazi?
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Dokazati da tvrdjenje vazi ako je funkcija injekcija

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 21. Mart 2019, 16:06

Lepo kaze "postoje skupovi za koje neki skup nije podskup od drugog skupova". To sto si ti nasla dva konkretna skupa za koje vazi da je [inlmath]f^{-1}[f[A] \triangle f[B] \subseteq A \cup B[/inlmath], ne znaci nista za kontrapoziciju i nije ni u kakvoj protivrecnosti sa tvrdjenjem zadatka, jer je potrebno pokazati da postoje (neki, tamo) skupovi za koje vazi [inlmath]f^{-1}[f[A] \triangle f[B]] \not \subseteq A \cup B.[/inlmath] Dakle, postoje.

Inace, mozda ti je lakse da to pokazes direktnije. Ako je funkcija [inlmath]f[/inlmath] 1-1, onda vazi da se njena slika lepo ponasa za presek i razliku (a za uniju se vec to zna) dva skupa, pa ako se iskoristi da je [inlmath]A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),[/inlmath] moze se pokazati da je [inlmath]f[A] \triangle f[B] = f[A \triangle B],[/inlmath] u slucaju kada je [inlmath]f[/inlmath] injektivna funkcija. Odatle je vec lako.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 18 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 05:55 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs