Stranica 1 od 1

Lokalni ekstremi funkcije

PostPoslato: Sreda, 15. Maj 2019, 19:45
od Aleksa001
Odredi sve lokalne ekstreme funkcije [inlmath]f(x)=\sqrt[3]{(2x-1)(1-x)^2}[/inlmath]
Odredio sam prvi izvod ali nikako ne mogu da dobijem isto kao u resenju
[dispmath]f'(x)=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}(1-x)^\frac{2}{3}+(2x-1)^\frac{1}{3}\frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}}=\\
=\frac{\sqrt[3]{(1-x)^2}}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}+\frac{2\sqrt[3]{(2x-1)}}{3\sqrt[3]{(1-x)}}=\frac{1-x+4x-2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(x-1)}}=\frac{3x-1}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(x-1)}}[/dispmath] dobio sam ovo, a u resenju je
[dispmath]\frac{2}{3}\frac{-3x+2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(x-1)}}[/dispmath]

Re: Lokalni ekstremi funkcije

PostPoslato: Sreda, 15. Maj 2019, 21:20
od Jovan111
Pozdrav! Imaš grešku na samom početku, pošto ne znaš kako da nađeš izvod složene funkcije. Na početku si imao za funkciju:
[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{(2x-1)(1-x)^2}\iff f(x)=(2x-1)^\frac{1}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath] prvi izvod:
[dispmath]f'(x)=\left((2x-1)^\frac{1}{3}\right)'\cdot(1-x)^\frac{2}{3}+(2x-1)^\frac{1}{3}\cdot\left((1-x)^\frac{2}{3}\right)'\tag1[/dispmath] Kada na mestu nepoznate stoji neki "razvijeniji" izraz, onda je to složena funkcija, a njen izvod je: tablični izvod umnožen izvodom izraza koji stoji na mestu nepoznate! Tako imamo za izraze u [inlmath](1)[/inlmath]:
[dispmath]\left((2x-1)^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}\cdot(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot{\color{red}(2x-1)'}=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(2)=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\\
\left((1-x)^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\cdot{\color{red}(1-x)'}=\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\cdot(-1)=-\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}[/dispmath]
Dalje ti je lako da središ izraz, ali ću ti priložiti postupak, za slučaj da ne uspeš ili pogrešiš.
[dispmath]f'(x)=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(1-x)^\frac{2}{3}+(2x-1)^\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\right)=\\
=\frac{2\sqrt[3]{(1-x)^2}}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}-\frac{2\sqrt[3]{2x-1}}{3\sqrt[3]{1-x}}=\frac{2\sqrt[3]{(1-x)^3}-2\sqrt[3]{(2x-1)^3}}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}=\frac{4-6x}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}\\
f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-3x+2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}[/dispmath]


Takođe, ti si sebi na ovaj način i otežao dolazak do rešenja jer si rešavao izvod kao izvod proizvoda, a nisi morao, jer si mogao transformisati analitički oblik funkcije na sledeći način:
[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{(2x-1)(1-x)^2}\iff f(x)=\left((2x-1)(1-x)^2\right)^\frac{1}{3}=\\
=\Bigl((2x-1)\left(1-2x+x^2\right)\Bigr)^\frac{1}{3}=\left(4x-5x^2+2x^3-1\right)^\frac{1}{3}[/dispmath] Sada bi izvod funkcije bilo neuporedivo lakše naći.

Re: Lokalni ekstremi funkcije

PostPoslato: Sreda, 15. Maj 2019, 22:14
od Aleksa001
Hala puno na odlicnom objasnjenju!