Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod sekigan » Subota, 22. Jun 2019, 18:47

Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
9. zadatak


Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4.[/inlmath]



Tačan odgovor je pod [inlmath]C[/inlmath], ali meni samo [inlmath]x=1[/inlmath] deluje kao rešenje ovog zadatka.
Poslednji put menjao Jovan111 dana Subota, 22. Jun 2019, 19:25, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija teksta zadatka, dodavanje LaTeX-tagova, kao i linka ka zadatku
Korisnikov avatar
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Jovan111 » Subota, 22. Jun 2019, 19:29

Pozdrav! Dobro došao na forum. Važno je da dodaš i link ka zadatku sa prijemnog (koji upućuje na taj zadatak na forumu), ali sam ja to odradio ovaj put ;)

grafici funkcija.PNG
grafici funkcija.PNG (9.38 KiB) Pogledano 1662 puta

Da li ti ova slika pomaže i da li misliš da bi mogao da je nacrtaš?
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 24. Jun 2019, 00:24, izmenjena 2 puta
Razlog: Poboljšanje kvaliteta priloga (attachment)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

  • +1

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Subota, 22. Jun 2019, 19:49

Rekao bih da je u ovom zadatku glavna „caka“ dokazati da se krive ne dodiruju (pri čemu bi tačka dodira bila [inlmath]x=1[/inlmath]), već da se seku (pri čemu bi jedna od tačaka preseka bila tačka [inlmath]x=1[/inlmath]). Mislim da je upravo to ono što buni sekigana, a kako bismo grafik mogli nacrtati dovoljno precizno, moramo naći i uporediti izvode obe funkcije u tački [inlmath]x=1[/inlmath]. Kako se za izvod funkcije [inlmath]\ln\sqrt x[/inlmath] u tački [inlmath]x=1[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a za izvod funkcije [inlmath]x^3-1[/inlmath] se u tački [inlmath]x=1[/inlmath] dobije [inlmath]3[/inlmath], sledi da ova potonja u toj tački ima veći nagib, pa se crtanjem grafika lako uočava da te dve funkcije moraju imati još jednu (i samo još jednu) zajedničku tačku u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Jovan111 » Subota, 22. Jun 2019, 20:19

Da, slažem se, mada sam ipak pomislio da ne bi mogao da upadne u takvu zabludu ako pažljivo nacrta grafike funkcija, kao što sam ja uradio. Hteo sam mu poručiti, zavisno od odgovora, da je jednačina [inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] ekvivalentna
[dispmath]\frac{1}{2}\ln x=x^3-1[/dispmath] gde bi ako zna da nacrta grafik funkcije [inlmath]y=\ln x[/inlmath] (a što pretpostavljam zna iz drugog razreda srednje škole), grafik funkcije mogao nacrtati samo malo "priljubljeniji" uz [inlmath]x[/inlmath]-osu (za [inlmath]x>1[/inlmath]), odnosno [inlmath]y[/inlmath]-osu (za [inlmath]0<x<1[/inlmath]) čime bi dobio [inlmath]y=\frac{1}{2}\ln x[/inlmath]. Opet, ako zna grafik [inlmath]y=x^3[/inlmath] (ili ga ucrta, što ne bi trebalo da mu bude problem), onda može translirati taj grafik za [inlmath]-1[/inlmath] "nadole", čime dobija grafik funkcije [inlmath]y=x^3-1[/inlmath]. Kada nacrta ta dva grafika videlo bi se, po meni, dovoljno jasno da postoje dva rešenja, ali je, naravno, odgovorom iz posta iznad svaka dilema da je rešenje pod [inlmath]C[/inlmath] otklonjena.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod miljan1403 » Četvrtak, 16. April 2020, 17:06

Jel moguće rešiti zadatak negrafički? :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Petak, 17. April 2020, 00:25

[inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] predstavlja tzv. transcendentnu jednačinu, što znači da rešenja nije moguće naći analitičkim putem (jedno rešenje je moguće „napipati“, to je [inlmath]x=1[/inlmath] kako je već i rečeno, ali drugo rešenje uopšte nije celobrojno). Znači – ne gine grafički.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Fare » Utorak, 09. Mart 2021, 23:12

Grafik je često dobra pomoć, ali ne i u ovom zadatku. Analizirati funkciju

[inlmath]f\left(x\right)=x^3-1-\ln\sqrt{x}=x^3-1-\frac{1}{2}\ln x[/inlmath]

i odrediti broj nula. Funkcija je pozitivna na granicama svog domena, tj:

[inlmath]\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=+\infty;\;\lim_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath]

Nadjimo lokalne ekstreme pomoću prvog izvoda:
[inlmath]f'\left(x\right)=3x^2-\frac{1}{2x}=\frac{6x^3-1}{2x}[/inlmath]

[inlmath]f'\left(x\right)<0\;\Longrightarrow\;x\in\left(0,\sqrt[3]{\frac{1}{6}}\right)[/inlmath] - funkcija je opadajuća

[inlmath]f'\left(x\right)=0\;\Longrightarrow\;x=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}[/inlmath] - lokalni minimum

[inlmath]f'\left(x\right)>0\;\Longrightarrow\;x\in\left(\sqrt[3]{\frac{1}{6}},+\infty\right)[/inlmath] - funkcija rastuća

Funkcija je neprekidna i kako je
[inlmath]f\left(\sqrt[3]{\frac{1}{6}}\right)=\frac{1}{6}-1-\frac{1}{2}\ln\;6^{-\frac{1}{3}}=-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\ln\;6=\frac{\ln\;6\;-5}{6}<0[/inlmath]

grafik funkcije preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu u dve tačke.
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Petak, 12. Mart 2021, 16:53

Fare je napisao:Grafik je često dobra pomoć, ali ne i u ovom zadatku.

:?:
Zar upravo ovaj način nije – grafički? :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ukupan broj realnih rešenja jednačine – probni prijemni MATF 2019.

Postod Fare » Subota, 13. Mart 2021, 20:03

Nije korišćen grafik, jer ga je teško dovoljno precizno skicirati (u ovom slučaju). Iskorišćena je neprekidnost funkcije na svom domenu, kao i egzistencija tačaka u kojima je funkcija pozitivna, odnosno negativna. A onda na osnovu (ne znam čija je teorema):
"Ako je funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] neprekidna na intervalu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath] i ako je [inlmath]f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0[/inlmath], tada postoji [inlmath]c\in\left(a,b\right)[/inlmath] tako da je [inlmath]f\left(c\right)=0[/inlmath]."
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs