Monotonost i neprekidnost funkcije

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 14:17
od mat=slabastrana
Zadatak glasi: Pokazati da je funkcija [dispmath]f(x)=\frac{1}{x^2-3x+3}[/dispmath] neprekidna i monotono rastuća na intervalu [dispmath][0, \frac{3}{2}][/dispmath]. Potom odrediti njenu inverznu funkciju na tom intervalu. Napomena: pri ispitivanju monotonosti funkcije ne koristiti diferencijalni racun.

Probao sam da ubacim granice intervala u jednačinu, kao:[dispmath]0=\frac{1}{x^2-3x+3}[/dispmath] i[dispmath]\frac{3}{2}=\frac{1}{x^2-3x+3}[/dispmath], ali ne može da se resi jednačina jer [dispmath]\frac{1}{x}[/dispmath] nikako ne može biti jednako 0.
Hvala unapred.

Re: Monotonost i neprekidnost funkcije

PostPoslato: Utorak, 09. Jul 2019, 18:56
od Daniel
mat=slabastrana je napisao:Probao sam da ubacim granice intervala u jednačinu,

Ovo je skroz pogrešan postupak. Pomešao si nezavisno promenljivu [inlmath]x[/inlmath] i zavisno promenljivu [inlmath]f(x)[/inlmath]. Na granicama intervala je [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{3}{2}[/inlmath], a ti si radio kao da je na granicama intervala [inlmath]f(x)=0[/inlmath] i [inlmath]f(x)=\frac{3}{2}[/inlmath]. To je ogromna razlika.

Neprekidnost funkcije dokazuješ time što ćeš pokazati da unutar datog intervala kvadratni trinom u imeniocu nema vrednost nula (jer kad bi bio nula, tu bi bio prekid funkcije zbog nule u imeniocu).

Monotonost funkcije dokazuješ time što pokažeš da je unutar datog intervala kvadratni trinom u imeniocu monoton (ako je kvadratni trinom rastući funkcija će biti opadajuća i obratno, jer se kvadratni trinom nalazi u imeniocu, tj. vrednost funkcije je obrnuto proporcionalna vrednosti kvadratnog trinoma).
Monotonost kvadratnog trinoma pokazuješ time što odrediš gde se nalazi teme njegove parabole. Ako je teme izvan datog intervala, to znači da interval obuhvata deo jednog kraka parabole, a to će onda biti interval u kojem je funkcija monotona.

Pošto se ovde pokazuje da se teme parabole nalazi tačno na gornjoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]x=\frac{3}{2}[/inlmath], sledi da je to stacionarna tačka, da je kvadratni trinom u imeniocu monotono opadajući u intervalu [inlmath]\left[0,\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a da je samim tim funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] monotono rastuća u intervalu [inlmath]\left[0,\frac{3}{2}\right)[/inlmath] – a ne u intervalu [inlmath]\left[0,\frac{3}{2}\right][/inlmath] kako stoji u tekstu zadatka.

Re: Monotonost i neprekidnost funkcije

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 18:11
od ubavic
Daniel je napisao:Neprekidnost funkcije dokazuješ time što ćeš pokazati da unutar datog intervala kvadratni trinom u imeniocu nema vrednost nula (jer kad bi bio nula, tu bi bio prekid funkcije zbog nule u imeniocu).

Samo jedan detalj bih napomenuo. Bez obzira da li trinom [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] ima ili nema realne nule, funkcija [inlmath]\frac{1}{ax^2+bx+c}[/inlmath] će uvek biti neprekidna kao kompozicija neprekidnih, s tim što ne mora biti više definisana na celom [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].