Naišao sam na zadatak za koji imam neke ideje kako je moguće rešiti ali za nijedan nisam siguran. Naime, zadatak glasi:
Date su funkcije [inlmath]f(x)=\frac{\cos(x)}{1+e^{1/x}}[/inlmath], [inlmath]g(x)=f(x)+f(-x)[/inlmath] i [inlmath]h(x)=f(x)-f(-x)[/inlmath].
Znajući da je [inlmath]g(x)[/inlmath] neparna, a [inlmath]h(x)[/inlmath] parna (mislim da su pogrešili ovde jer kad probam rešiti dobijam za [inlmath]g(x)=\cos(x)[/inlmath], a kosinus je parna funkcija), izračunati vrednost integrala [inlmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx[/inlmath].
Pošto preko formule za dekompoziciju na parne i neparne znam da je [inlmath]f(x)=\frac{h(x)+g(x)}{2}[/inlmath] mogu uraditi integral [inlmath]\int_{-1}^1[/inlmath] na obe strane i razdvojiti [inlmath]\frac{h(x)}{2}+\frac{g(x)}{2}[/inlmath] i to će izgledati ovako:
[dispmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx=\int_{-1}^1\cos(x)\,\mathrm dx+\int_{-1}^1\frac{h(x)}{2}\,\mathrm dx[/dispmath] Pošto je [inlmath]h(x)[/inlmath] neparna funkcija po pravilu njen integral od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] je jednak nuli, a pošto je [inlmath]\cos(x)[/inlmath] parna funkcija mogu računati u granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]. Kao rešenje zadatka dobijam [inlmath]\sin(1)[/inlmath].
Nadam se da je tačno.