Sasvim OK postupak, može i tako.
Pretpostavljam da je ovo samo greška u kucanju:
Gogele je napisao:gde je [inlmath]g(0)\ln1-1=0[/inlmath].
Naravno, treba da piše [inlmath]g(0)=\ln1-0=0[/inlmath].
E sad, kako sam ja to zamislio. Znači, ništa pomoćne funkcije. Dokazujemo da je funkcija [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] monotono rastuća na intervalu [inlmath](0,+\infty)[/inlmath] (napisao sam u svom prethodnom postu zbog čega to dokazujemo), tj. da je njen prvi izvod na tom intervalu pozitivan.
Za prvi izvod funkcije [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right][/inlmath]. Ako nisi dobio ovakav izvod, moja ti je jaka preporuka da pokušaš da nađeš grešku u svom postupku, a ako treba možemo ti i mi pomoći.
Dakle, treba dokazati da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right][/inlmath] pozitivno za svako [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. Faktor [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] je u tom intervalu svakako pozitivan, tako da ostaje da se dokaže da je [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}[/inlmath] pozitivno za svako [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. Nađemo izvod od [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}[/inlmath] i dobijemo da on iznosi [inlmath]-\frac{1}{x(x+1)^2}[/inlmath], što znači da je negativan u posmatranom intervalu za [inlmath]x[/inlmath], tj. da je funkcija [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}[/inlmath] monotono opadajuća. Pošto je ta funkcija na posmatranom intervalu definisana, neprekidna i monotono opadajuća, a njen limes u beskonačnosti je jednak nuli, sledi da je na celom tom intervalu pozitivna.
Ovime je dokazano da je prvi izvod funkcije [inlmath]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] pozitivan na intervalu [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. U prethodnom postu sam napisao zbog čega odatle sledi i da je ta funkcija za svako [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath] manja od [inlmath]e[/inlmath].