Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes sa trigonometrijskim funkcijama

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes sa trigonometrijskim funkcijama

Postod tanganjika » Subota, 06. Januar 2018, 23:44

Izračunati:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\tan(\tan x)-\sin(\sin x)}{\tan x-\sin x}[/dispmath] Zdravo, novi sam na forumu. Nadam se da je zadatak postavljen kako treba. E sad povodom zadatka, pokušavao sam da ga rešim na više načina prvo preko [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath], ali sam se vrteo ukrug, pa posle toga preko Lopitala isto. E sad ne znam gde grešim. Hvala svima unapred :D
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limes sa trigonometrijskim funkcijama

Postod Daniel » Nedelja, 07. Januar 2018, 02:53

tanganjika je napisao:Zdravo, novi sam na forumu. Nadam se da je zadatak postavljen kako treba.

Savršeno. :thumbup: Kamo sreće da svi koji prvi put dođu na forum ovako pitanja postavljaju... I da, dobro došao na forum! :)

Preko Lopitala mislim da neće ići, preko Tejlorovog razvoja ide rutinski, ali može se rešiti i pogodnom transformacijom ovog izraza, tako što u brojiocu oduzmeš [inlmath]\text{tg}(\sin x)[/inlmath] i dodaš [inlmath]\text{tg}(\sin x)[/inlmath]. Primeni [inlmath]\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta=\text{tg}(\alpha-\beta)\cdot(1+\text{tg }\alpha\text{ tg }\beta)[/inlmath] (što sledi iz adicione formule za tangens, [inlmath]\text{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\text{ tg }\beta}[/inlmath]), a iz preostala dva sabirka u brojiocu izvuci kao zajednički [inlmath]\sin(\sin x)[/inlmath].
Kreni tako, pa ako se ne budeš snašao, tu smo da pomognemo... :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6758
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3535 puta
Pohvaljen: 3723 puta

Re: Limes sa trigonometrijskim funkcijama

Postod tanganjika » Nedelja, 07. Januar 2018, 19:48

Hvala na uputama. Nisam se baš snašao, pokušao sam preko adicionih, stanem negde do ovde, a ovo preko Tejlorovog reda ne znam baš kako se radi, profesor nam je to baš slabo objasnio, pa ako bi neko bio dobar da mi pojasni i taj način rešavanja.
[dispmath]\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{\tan (\tan x)-\sin(\sin x)}{\tan x- \sin x}....=\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{\tan (\tan x-\sin x)(1+\tan (\tan x)*\tan(\sin x))+\sin (\sin x)\left(\frac{1}{\cos (\sin x)}-1\right))}{\tan x- \sin x}[/dispmath]
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Limes sa trigonometrijskim funkcijama

Postod Daniel » Nedelja, 07. Januar 2018, 23:20

Tako je, upravo to treba da se dobije, sad to razdvojiš na zbir dva razlomka (ili, zbir dva limesa):
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}(\text{tg }x-\sin x)\cdot\bigl(1+\text{tg}(\text{tg }x)\text{tg}(\sin x)\bigr)}{\text{tg }x-\sin x}+\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)\left(\frac{1}{\cos(\sin x)}-1\right)}{\text{tg }x-\sin x}[/dispmath] Prvi limes je [inlmath]1[/inlmath], jer je [inlmath]\lim\limits_{\alpha\to0}\frac{\text{tg }\alpha}{\alpha}=1[/inlmath], a ovde je [inlmath]\alpha=\text{tg }x-\sin x[/inlmath].
U drugom limesu ispred imenioca možemo izvući [inlmath]\sin x[/inlmath], čime taj drugi limes postaje
[dispmath]\lim_{x\to0}\cancelto{1}{\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}}\cdot\frac{\frac{1}{\cos(\sin x)}-1}{\frac{1}{\cos x}-1}[/dispmath] Ovaj razlomak koji ostaje napišemo kao
[dispmath]\lim_{x\to0}\cancelto{1}{\frac{\cos x}{\cos(\sin x)}}\cdot\frac{1-\cos(\sin x)}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1-\cos(\sin x)}{\sin^2x}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}\cdot\frac{\sin^2x}{x^2}[/dispmath] Sada se još samo upotrebi limes koji bi trebalo da je poznat, [inlmath]\lim\limits_{\alpha\to0}\frac{1-\cos\alpha}{\alpha^2}=\frac{1}{2}[/inlmath], a koji se uostalom lako može i dokazati, bilo preko Lopitala, bilo množenjem brojioca i imenioca sa [inlmath](1+\cos\alpha)[/inlmath].



Što se tiče Tejlorovog reda. Razvoj tangensa u okolini nule je [inlmath]\text{tg }\alpha=\alpha+\frac{1}{3}\alpha^3+\frac{2}{15}\alpha^5+\sigma\left(\alpha^5\right)[/inlmath], a sinusa [inlmath]\sin\alpha=\alpha-\frac{1}{6}\alpha^3+\frac{1}{120}\alpha^5+\sigma\left(\alpha^5\right)[/inlmath]. Ako primenimo razvoj prvo na imenilac, vidimo da će biti
[dispmath]\text{tg }x-\sin x=\cancel x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\cancel x+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5+\sigma\left(x^5\right)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{8}x^5+\sigma\left(x^5\right)[/dispmath] to jest, da će najmanji stepen biti treći stepen. To znači da je brojilac dovoljno razviti do trećeg stepena. [inlmath]\text{tg}(\text{tg }x)[/inlmath] razviješ na sledeći način:
[dispmath]\begin{align}
\text{tg}(\text{tg }x)&=\text{tg }x+\frac{1}{3}\text{tg}^3x+\sigma\left(\text{tg}^3x\right)=\\
&=x+\frac{1}{3}x^3+\sigma\left(x^3\right)+\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}x^3+\sigma\left(x^3\right)\right)^3+\sigma\left(x^3\right)\\
\end{align}[/dispmath] Kada ovo u zagradi dižeš na treći stepen, dovoljno je da u formuli [inlmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath] uzmeš samo prvi sabirak (koji će biti [inlmath]x^3[/inlmath]) jer će svi ostali sabirci biti višeg stepena tako da će ih sve obuhvatiti [inlmath]\sigma\left(x^3\right)[/inlmath].

Prepuštam ti da uradiš isto to za [inlmath]\sin(\sin x)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6758
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3535 puta
Pohvaljen: 3723 puta

Re: Limes sa trigonometrijskim funkcijama

Postod tanganjika » Nedelja, 07. Januar 2018, 23:38

Au, hvala mnogo, sad se sve čini jednostavnim. Svaka čast na tako opširnom i lepo objašnjenom odgovoru!
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Januar 2018, 12:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs