Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes inferior i superior niza

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes inferior i superior niza

Postod display_error » Utorak, 30. Jun 2015, 23:05

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Dat je niz
[dispmath]x_n=1-n\sin\frac{n\pi}{4}[/dispmath]
Odrediti limes inferior i limes superior niza [inlmath]x_n[/inlmath]

Probao sam da iz granične vrednosti niza odredim barem jednu tačku nagomilavanja, međutim, kako [inlmath]x_n\to-\infty[/inlmath] kad [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], nije ju moguće odavde odrediti. Ne snalazim se baš sa podnizovima, pa da li može neko u kratkim crtama, u okviru ovog zadatka da mi pojasni kako biramo podnizove, tj. da li postoji neko univerzalno pravilo u izboru podniza? Određivanje tačaka nagomilavanja ovde očito ide preko podnizova.

Hvala.
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limes inferior i superior niza

Postod Daniel » Sreda, 01. Jul 2015, 09:46

Prvo, uočiš periodičnost sinusne funkcije:
[dispmath]x_n=1-n\sin\frac{n\pi}{4}=1-n\sin\left(\frac{n\pi}{4}+2k\pi\right)=1-n\sin\frac{n\pi+8k\pi}{4}=1-n\sin\frac{\left(n+8k\right)\pi}{4}[/dispmath]
Zatim razmatraš odvojeno tih osam slučajeva:
[inlmath]\begin{array}{lll}
n=8k & \Rightarrow & x_n=1-n\sin0 & \Rightarrow & x_n=1\\
n=8k+1 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{\pi}{4} & \Rightarrow & x_n=1-n\frac{\sqrt2}{2}\\
n=8k+2 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{\pi}{2} & \Rightarrow & x_n=1-n\\
\vdots\\
n=8k+7 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{7\pi}{4} & \Rightarrow & x_n=1+n\frac{\sqrt2}{2}
\end{array}[/inlmath]

I na osnovu toga uočiš kojih osam podnizova treba formirati.

Takođe, iz toga ćeš uočiti i da niz ima jednu tačku nagomilavanja.

display_error je napisao:Probao sam da iz granične vrednosti niza odredim barem jednu tačku nagomilavanja, međutim, kako [inlmath]x_n\to-\infty[/inlmath] kad [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], nije ju moguće odavde odrediti.

Jedna ispravka – kada [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], tada samo neki članovi niza teže [inlmath]-\infty[/inlmath], neki teže [inlmath]+\infty[/inlmath], dok će se neki nalaziti u okolini tačke nagomilvanja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7139
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3715 puta
Pohvaljen: 3881 puta

Re: Limes inferior i superior niza

Postod Marex » Subota, 10. Mart 2018, 19:33

I kolike su vrednosti za ovaj zadatak i ako može pojašnjenje kako se dolazi do ovih bitnih tačaka?
Marex  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Limes inferior i superior niza

Postod Daniel » Subota, 10. Mart 2018, 20:52

Marex je napisao:I kolike su vrednosti za ovaj zadatak

Za svaki od ovih osam podnizova odrediš njegov limes inferior i njegov limes superior. Najmanji od tih limesa inferiora biće limes inferior datog niza, a najveći od tih limesa superiora biće limes superior datog niza.

Marex je napisao:i ako može pojašnjenje kako se dolazi do ovih bitnih tačaka?

Na osnovu periodičnosti sinusne funkcije, [inlmath]\sin x=\sin(x+2\pi)[/inlmath], nađe se koliki će biti period za [inlmath]n[/inlmath]: [inlmath]\sin\frac{n\pi}{4}=\sin\left(\frac{n\pi}{4}+2\pi\right)=\sin\frac{(n+8)\pi}{4}[/inlmath], iz čega vidimo da period za [inlmath]n[/inlmath] iznosi [inlmath]8[/inlmath], što znači da niz treba podeliti na osam podnizova, tj. razmatrati slučajeve [inlmath]n=8k,n=8k+1,\ldots,n=8k+7[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7139
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3715 puta
Pohvaljen: 3881 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Jun 2018, 19:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs